Calcule, sem usar regra de L’Hôspital, os limites abaixo ou prove que não existe. Justifique suas respostas:

  1. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x
  2. lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4
  3. lim x → 2 - ⁡ 1 x - 2 - 3 x 2 - 4
  4. Seja g : I R → I R uma função tal que - 5 x + 2 2 ≤ g x - 3 ≤ 5 x + 2 2 para todo x ∈ I R . Usando o teorema do confronto, calcule o limite (e justifique)

lim x → - 2 ⁡ g x

Passo 1

Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente sempre mas seeeempre checa primeiro os limites substituindo o valor proposto. Se não der indeterminação, tamos feitos! Vamos ter:

  1. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 1 - cos ⁡ 0 0 = 1 - 1 0 = 0 0
  2. lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 = 4 - 2 4 - 4 = 2 - 2 0 = 0 0
  3. lim x → 2 - ⁡ 1 x - 2 - 3 x 2 - 4 = 1 2 - 2 - 3 2 2 - 4 = 1 0 - 3 4 - 4 = ∞ - 3 0 = ∞ - ∞

É pessoal, três indeterminações. Então não tem jeito! Vamos precisar mexer nesses limites até eles ganharem uma forma que suma a indeterminação. Bora lá?

Passo 2

Letra a)

Pra letra a ) a macete vai estar em ver que ela é uma função que tem fração de polinômio e função trigonométrica. Quem tem essa cara também é o limite fundamental trigonométrico! Vamos então tentar fazer surgir:

lim a → 0 ⁡ sen ⁡ a a = 1

Pra isso, uma boa ideia, pra fazer o seno aparecer, é multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado do numerador:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x ∙ 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x   1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x   1 + cos ⁡ x

Ok, mas nós temos um seno ao quadrado ali em cima? Pô, pra casar, vamos deixar um x 2 em baixo, multiplicando em baixo e em cima:

lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x   1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x   1 + cos ⁡ x ∙ x x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 ∙ x 1 + cos ⁡ x

Das propriedades dos limites, temos:

lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 ∙ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x =

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Limite fundamental trigonométrico apareceu, aee! Substituindo, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 1 2 ∙ 0 1 + cos ⁡ 0 = 0

Passo 3

Letra b)

Pra letra b) o truque vai ser olhar pra raiz e pensar: humm, se eu me livrar dela, as coisas ficam mais fáceis, né? Então, uma forma de fazermos isso, é multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo:

lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 ∙ x + 2 x + 2 = lim x → 4 ⁡ x - 4 x - 4 x + 2 = lim x → 4 ⁡ 1 x + 2

E olha só que doido! Isso já foi o suficiente! Substituindo x = 4 , achamos:

lim x → 4 ⁡ 1 x + 2 = 1 4 + 2 = 1 2 + 2 = 1 4

Letra c)

Nessa letra, o que temos que fazer é o que faremos sempre que tivermos indeterminação do tipo ∞ - ∞ : Colocar tudo no mesmo denominador. Assim, se a indeterminação não sumir, pelo menos podemos achar uma de outro tipo. Pra isso, usando o produto notável:

lim x → 2 - ⁡ 1 x - 2 - 3 x 2 - 4 = lim x → 2 - ⁡ 1 x - 2 - 3 x + 2 x - 2

Vemos que basta multiplicar em cima e em baixo na fração da esquerda pelo seu conjugado pra eles terem o mesmo denominador:

lim x → 2 - ⁡ 1 x - 2 ∙ x + 2 x + 2 - 3 x + 2 x - 2

lim x → 2 - ⁡ x + 2 x + 2 x - 2 - 3 x + 2 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ x - 1 x + 2 x - 2

E substituindo agora, temos:

lim x → 2 - ⁡ x - 1 x + 2 x - 2 = 2 - 1 2 + 2 2 - - 2 = 1 4 ∙ 0 - = - ∞

O limite, portanto, não existe! A gente sempre diz que não existe quando:

  • Ele é incalculável, como por exemplo lim x → ± ∞ ⁡ sin ⁡ x
  • Ele é calculável, porém resulta em ± ∞

Passo 4

Letra d)

Pra gente fechar com chave de ouro, bora fazer a letra d . Ela nos dá:

- 5 x + 2 2 ≤ g x - 3 ≤ 5 x + 2 2

lim x → - 2 ⁡ g x

Um bom primeiro passo então será isolar g x na equação. Pra isso, somamos 3 em cada parte dela:

- 5 x + 2 2 + 3 ≤ g x - 3 + 3 ≤ 5 x + 2 2 + 3

- 5 x + 2 2 + 3 ≤ g x ≤ 5 x + 2 2 + 3

Aplicando o limite, temos:

lim x → - 2 ⁡ - 5 x + 2 2 + 3 ≤ lim x → - 2 ⁡ g x ≤ lim x → - 2 ⁡ 5 x + 2 2 + 3

- 5 - 2 + 2 2 + 3 ≤ lim x → - 2 ⁡ g x ≤ 5 - 2 + 2 2 + 3

- 5 0 2 + 3 ≤ lim x → - 2 ⁡ g x ≤ 5 0 2 + 3

3 ≤ lim x → - 2 ⁡ g x ≤ 3

E veja só, se o limite está entre 3 e 3 , ele só pode ser 3 . É como se tivéssemos três funções

Onde

f x = - 5 x + 2 2 + 3

h x = 5 x + 2 2 + 3

Se g x está sempre entre esses dois carinhas e eles tem um limite L em comum pra x → a , pra esse mesmo x → a o limite de g x também dará L . Afinal, não tem muito pra onde g x fugir já que ele tem que ficar preso ali entre f , g !

Resposta

Justificativas no decorrer da resolução

Respostas:

  1. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0
  2. lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 = 1 4
  3. lim x → 2 - ⁡ 1 x - 2 - 3 x 2 - 4 = - ∞
  4. lim x → - 2 ⁡ g x = 3

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)