1. Calcule os limites abaixo, se existirem.

d. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver esse limite, vamos dar uma olhada na definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

De fato, a definição formal de limites é um pouco complexa, mas vamos iniciar de uma forma mais fácil. Supondo que, a partir do primeiro gráfico, a função não fosse contínua em a e tivesse essa forma:

Onde as constantes ε   (épsilon) e δ (delta) são pequenas variações, para mais ou para menos, dos valores de 𝐿 e 𝑎 respectivamente. Neste caso, vemos que f não está definida em 𝑎, mas existe um limite 𝐿 que satisfaça uma condição específica que apresentarei logo adiante.

Ou seja, se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 , tal que se

a - δ < x < a + δ

Então,

L - ε < f x < L + ε

Agora vamos olhar para na nossa função!

Passo 2

Aqui nós temos uma função cosseno que é periódica.

Repara que ela se repete em intervalos de 0 até 2 π . Então temos que para δ > 0 existe um número natural k , tal que:

1 π k < δ

E

2 π 2 k + 1 < δ

Teremos também,

cos ⁡ 1 x = ± 1 ,   p a r a   x = 1 π k

E

cos ⁡ 1 x = 0 ,   p a r a   x = 2 π 2 k + 1

Então para todo L é falsa a afirmação de que existe δ > 0 tal que para todo x

0 < x < δ → L - ε < cos ⁡ 1 x < L + ε

Assim,

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x = ∄

Resposta

N ã o   e x i s t e

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