19) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ s e n x 3 x

Passo 1

Falaa pessoal! Tudo tranquilo?

Mais uma questão de limites, só que agora precisamos usar os nossos limites fundamentais para solucionar o problema. E quando vemos a carinha do limite dessa questão, lembramos logo do nosso limite fundamental trigonométrico, né?!

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Nesse tipo de questão, a ideia é mexer no problema dado até conseguir encaixar ele em algum dos limites fundamentais. Então, mãos à obra!

Passo 2

Para poder usar o limite fundamental trigonométrico precisamos deixar o argumento do seno igual ao denominador da fração. A forma mais fácil de fazer isso é assim:

s e n x 3 x = x 2 x 2 ⋅ s e n x 3 x = x 2 ⋅ s e n x 3 x 3

Então agora vamos usar a técnica do limite com substituição para cairmos no nosso limite trigonométrico bonitinho.

u = x 3 ∴ x → 0 ⇒ u → 0 . Daí:

lim x → 0 ⁡ s e n x 3 x = lim u → 0 ⁡ u 2 3 ⋅ s e n u u

Passo 3

Vamo puxar uma propriedade dos limites lá do fundo baú:

O limite do produto é o produto dos limites (desde que tais limites sejam finitos).

Assim, como:

lim u → 0 ⁡ u 2 3 = 0

lim u → 0 ⁡ s e n u u = 1 (Limite fundamental trigonométrico)

Ou seja, como os dois limites são finitos vale a propriedade:

lim u → 0 ⁡ u 2 3 ⋅ s e n u u =   lim u → 0 ⁡ u 2 3 ⋅   lim u → 0 ⁡ s e n u u = 0 ⋅ 1 = 0  

Passo 4

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n x 3 x = 0

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)