Calcule usando os limites fundamentais.

g ) lim x → 0 ⁡ x ²   s e n   x  

Passo 1

Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!

Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!!

O enunciado é até que bem breve, pede apenas para resolvermos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x ²   s e n   x  

E para isso devemos utilizar alguns limites fundamentais. Logo, eu pergunto a vocês, quais são os limites fundamentais. Melhor ainda, qual(is) limite(s) poderiam nos ajudar nessa questão???

Bom, já adianto a vocês uma coisa a estratégia de resolução dessa questão envolve o limite fundamental:

lim x  →   0   ⁡ s e n   x x   =   1

Todavia, antes de tudo . Como a questão é sobre limites é interessante sempre começarmos tentando resolver o limite da forma mais “tradicional” que é apenas substituir o valor para qual o x tende. Sendo assim,

  lim x → 0 ⁡ x ²   s e n   x   = lim x → 0 ⁡ ( 0 ) ²   s e n   ( 0 )   = 0 0

Isso porque existe uma propriedade em limites que afirma:

lim x  →  a ⁡ C   =   C

Sendo C , uma constante real. É notório então que chegamos a um resultado que não faz muito sentido, não é mesmo?! Temos que ter então uma nova abordagem.

Passo 2

Como temos que utilizar um limite fundamental é de extrema importância manipularmos a nossa expressão matemática.

lim x → 0 ⁡ x ²   s e n   x   =   lim x  →   0 ⁡ x s e n   x ⋅ x  

E como existe uma propriedade em limites que afirma que:

lim x  →   0 ⁡ [ f ( x ) ∙ g ( x ) ]   =   lim x  →   0 ⁡ f ( x ) ∙ lim x  →   0 ⁡ g ( x )

Desse modo,

l i m   x → 0 x s e n   x ⋅   l i m x → 0   x   = 1 ⋅ x  

Passo 3

No passo anterior utilizamos uma propriedade de limites e além disso, um limite fundamental. Chegamos então a conclusão de que:

lim x → 0 ⁡ x ²   s e n   x   = 1 ⋅ x  

Substituindo o x por zero, obtemos que o nosso resultado final será:

= 1 ⋅ 0  

= 0

Maravilha! Chegamos a um resultado exato, sem que hajam indeterminações. Bora continuar praticando?!

Resposta

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)