14) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → π 2 ⁡ s e n x - 1 x c o s x

Passo 1

Fala gente bonita!

A primeira ideia mais uma vez é substituir x = π 2 dentro do limite e analisar o que temos:

lim x → π 2 ⁡ s e n x - 1 x c o s x = 1 - 1 0 = 0 0

Pois é! Uma indeterminação matemática. Então, vamos pensar mais um pouco.

Passo 2

Temos que pensar em como tirar esses zeros do nosso limite. No numerador, o zero é devido ao s e n x - 1 e no denominador é devido ao c o s ⁡ ( x ) .

Bom, é um pouco difícil visualizar logo de cara o que fazer, porque não tem muitas identidades trigonométricas que possamos usar pra de uma vez só conseguir tirar as indeterminações.

Vamos pensar assim então:

Por qual expressão podemos multiplicar s e n x - 1 de modo que o resultado tenha algo a ver com c o s ⁡ ( x ) ?

Lembra do produto notável da diferença de quadrados? Então, é justamente isso:

s e n x - 1 s e n x + 1 = s e n 2 x - 1

Só que pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que:

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x ⇒ s e n 2 x - 1 =   - cos 2 ⁡ x

Top. Vamos na nossa expressão do limite e multiplicar ela por s e n x + 1 s e n x + 1 :

s e n x - 1 x c o s x ⋅ s e n x + 1 s e n x + 1 = s e n 2 x - 1 x c o s x s e n x + 1 = - c o s x x s e n x + 1

Show! Vamos voltar pro limite e ver se conseguimos remover pelo menos um desses zeros.

Passo 3

Agora só precisamos aplicar o limite nessa expressão. De onde vem que

lim x → π 2 ⁡ s e n x - 1 x c o s x = lim x → π 2 ⁡ - c o s x x s e n x + 1

Apenas substituindo x por π 2 , temos:

lim x → π 2 ⁡ - c o s x x s e n x + 1 = 0 π 2 ⋅ 2 = 0 π = 0

Prontinho 😊

Resposta

lim x → π 2 ⁡ s e n x - 1 x c o s x = 0

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)