Seja f x = c 1 sin ⁡ x + c 2 sin ⁡ 2 x + … + c n sin ⁡ n x ; - π / 2 < x < π / 2 onde c 1 ,   c 2 ,   … ,   c n são números reais e n é um inteiro positivo. Dado que | f ( x ) | ≤ | tan ⁡ x | para todo número real x ; utilize limite e/ou derivada para provar que:

c 1 + 2 c 2 + … + n c n < π 3

Passo 1

Faaala pessoal! Bem engenhosa essa questão. Repara que a soma evidenciada não passa de:

f ' 0 = c 1 cos ⁡ 0 + 2 c 2 cos ⁡ 0 + … + n c n cos ⁡ 0 = c 1 + 2 c 2 + … + n c n

A fim de alcançarmos alguma expressão utilizando a derivada a partir da desigualdade | f ( x ) | ≤ | tan ⁡ x | , apliquemos a definição de derivada em x = 0 :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h =

= lim h → 0 ⁡ f h - 0 h

Como queremos tratar de c 1 + 2 c 2 + … + n c n aplicamos o módulo:

| f ' ( 0 ) | = lim h → 0 ⁡ f h h

Como x é uma função contínua nos reais podemos alterar sua ordem com o limite tal que:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f h h

≤ li m h → 0 ⁡ tan ⁡ h h               ( d e s i g u a l d a d e )

= lim h → 0 ⁡ tan ⁡ h h                 ( p r o d u t o )

= lim h → 0 ⁡ sin ⁡ h h ⋅ lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h                   ( l i m .   f u n d . )

= 1 ⋅ 1 1

= 3 3

< π / 3

Isto é:

f ' 0 < π 3

⇒ c 1 + 2 c 2 + … + n c n < π 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)