Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ a x x + tan ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x

Passo 1

Vamos usar o limite fundamental trigonométrico nesse exercício. Mas antes, vamos começar tentando abrir e simplificar o máximo de coisas que der.

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ a x x + sen ⁡ b x cos ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x

Agora, para aparecer o limite fundamental, vou multiplicar e dividir os termos do numerador por a x e por b x .

lim x → 0 ⁡ a x   x - sen ⁡ a x a x . b x x + sen ⁡ b x cos ⁡ b x b x 1 - cos ⁡ c x

lim x → 0 ⁡ a x ² - a x sen ⁡ a x a x . b x x cos ⁡ b x + sen ⁡ b x b x cos ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x

Podemos usar o limite fundamental trigonométrico em

a x sen ⁡ a x a x

lim x → 0 ⁡ ( x - a x ) . b x x cos ⁡ b x + sen ⁡ b x b x cos ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x

lim x → 0 ⁡ ( x - a x ) b x ² cos ⁡ b x + b x sen ⁡ b x b x cos ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x

lim x → 0 ⁡ ( x - a x ) b x ² cos ⁡ b x b x cos ⁡ b x + b x sen ⁡ b x b x cos ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x

Simplificando e usando o limite fundamental novamente:

lim x → 0 ⁡ ( x - a x ) x + b x cos ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x

Passo 2

Agora vamos tentar fazer alguma coisa com o termo do denominador. Ele é uma subtração da forma

a - b

Se multiplicarmos por a + b teremos o produto notável a 2 - b ² . Vamos tentar isso.

lim x → 0 ⁡ x - a x x + b x cos ⁡ b x 1 - cos ⁡ c x . ( 1 + cos ⁡ c x ) ( 1 + cos ⁡ c x )

lim x → 0 ⁡ x - a x x + b x cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x 1 - cos 2 ⁡ c x

Você deve estar se perguntando por que fizemos isso, vou explicar. Lembra da identidade trigonométrica fundamental? É essa aqui

sen ² ⁡ x + cos ² ⁡ x = 1

Se isolarmos o sen ² ⁡ x olha o que acontece:

sen ² ⁡ x = 1 - cos ² ⁡ x

Agora tudo faz sentido ne? Hahah

Vamos substituir então o 1 - cos 2 ⁡ c x por sen ² ⁡ ( c x ) .

lim x → 0 ⁡ x - a x x + b x cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x sen ² ⁡ ( c x )

lim x → 0 ⁡ x - a x x + b x cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x sen ⁡ ( c x ) . sen ⁡ ( c x )

Agora vou colocar o x em evidência, você vai entender por que daqui a pouquinho.

lim x → 0 ⁡ x 1 - a x 1 + b cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x sen ⁡ ( c x ) . sen ⁡ ( c x )

lim x → 0 ⁡ x ² 1 - a 1 + b cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x sen ⁡ ( c x ) . sen ⁡ ( c x )

Tendo o x 2 em evidência, para podermos usar o limite fundamental trigonométrico só falta multiplicar e dividir a expressão por c ² .

lim x → 0 ⁡ c ² x ² . 1 - a 1 + b cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x c ² . sen ² ⁡ ( c x )

lim x → 0 ⁡ 1 - a 1 + b cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x c ²

Passo 3

Agora ta tudo certo pra substituir o valor de x .

lim x → 0 ⁡ 1 - a 1 + b cos ⁡ b x 1 + cos ⁡ c x c ² = 1 - a 1 + b cos ⁡ 0 b 1 + cos ⁡ 0 c c ² = 1 - a 1 + b 1 1 + 1 c ² = 2 1 - a 1 + b c ²

Resposta

2 1 - a 1 + b c ²

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p