Calcule os limites abaixo

g )   lim x → 0 ⁡ s e n h ( x ) x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ s e n h x x

Mas calma! Antes vamos relembrar de duas coisas: da representação em termos de exponenciais da função seno hiperbólico e de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima

Primeiro a função seno hiperbólico:

s e n h x = e x - e - x 2

Então, na verdade, o que temos é um limite envolvendo exponenciais! E não uma função trigonométrica (como o seno e o cosseno usuais)!

E por fim estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → 0 ⁡ s e n h x x = lim x → 0 ⁡ e x - e - x 2 x

Beleza? Notem que temos uma exponencial no numerador e um x no denominador, o que isso nos lembra? Isso mesmo do terceiro limite fundamental:

lim u → 0 ⁡ e u - 1   u = 1

Mas precisamos manipular um pouco o nosso limite para poder usar o resultado do limite fundamental...

Passo 3

A ideia agora é #manipulação

lim x → 0 ⁡ e x - e - x 2 x

Para termos alguma coisa com (exponencial -1) no numerador vou multiplicar e dividir por e x , assim vamos ter - e - x . e x = - 1 no numerador! E vamos nos aproximar mais do que queremos!

lim x → 0 ⁡ e x - e - x 2 x ⋅ e x e x = lim x → 0 ⁡ e x . e x - e - x . e x 2 x e x = lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 x

Estamos quase lá! Agora vamos fazer um truque muito usado: mudança de variável! Chamando

u = 2 x

E quando x → 0 ,   u → 0 também! Substituindo no nosso limite vamos ter o seguinte

lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 x = lim u → 0 ⁡ e u - 1   u

E agora sim vamos poder usar o nosso limite fundamental!

lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 x = lim u → 0 ⁡ e u - 1   u = 1

E taí nosso resultado!

lim x → 0 ⁡ s e n h x x = 1

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)