Determine:

  1. lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 arccos ⁡ x 2 x 2 + 1
  2. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2  

Passo 1

Faaala galerota, o truque do conjugado cai muito bem aqui, mas no geral vamos tentar encontrar limite fundamentais por meio de algebrismos XD.

L = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2  

Repare que:

a 15 - b 15 = a - b ∑ i = 0 14 a 14 - i b i  

Logo, a fim de completar a diferença do limite, façamos:

L = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2 ⋅ ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 15 - cos ⁡ x 3 15 x 2 ⋅ 1 ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ cos 3 ⁡ x - cos 5 ⁡ x x 2 ⋅ 1 ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 2 ⋅ cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ⋅ l i m x → 0 cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i       ( p r o d . )

Passo 2

Uma vez que x 2 é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro de seu argumento de modo que:

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 = 1 2 = 1               ( l i m .   f u n d . )

E ainda:

l i m x → 0 cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i = 1 3 ∑ i = 0 14 1 14 - i 1 ^ i = 1 15

De forma que o limite seja dado por:

L = lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ⋅ l i m x → 0 cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i

= 1 ⋅ 1 15 =

= 1 15

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2 = 1 15

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