24) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ s e n x s e n 3 x s e n 5 x t g 2 x t g 4 x t g 6 x

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão? Bora matar mais uma questão?!

Primeiramente, temos que testar x = 0 na expressão. Mas vamos encontrar uma indeterminação matemática, então temos que pensar mais um pouquinho.

Bom, temos então que calcular um limite que envolve senos e tangentes. Sempre que aparecem funções trigonométricas é uma boa a gente ver se não dá pra encaixar o limite fundamental trigonométrico. Então, bora abrir essas tangentes pra criar uma expressão que dá pra separar a parte que envolve cossenos e senos:

S =   s e n x s e n 3 x s e n 5 x t g 2 x t g 4 x t g 6 x = s e n x s e n 3 x s e n 5 x s e n 2 x cos ⁡ 2 x ⋅ s e n 4 x cos ⁡ 4 x ⋅ s e n 6 x cos ⁡ 6 x    

Agora, vamos separar a expressão como produto de senos e cossenos:

S =   s e n x s e n 3 x s e n 5 x s e n 2 x cos ⁡ 2 x ⋅ s e n 4 x cos ⁡ 4 x ⋅ s e n 6 x cos ⁡ 6 x = cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x ⋅ s e n x s e n 3 x s e n 5 x s e n 2 x s e n 4 x s e n 6 x

Ótimo!!

Passo 2

Basicamente, temos o produto de duas expressões. O legal de ter separado assim é que o limite quando x → 0 não dá nenhum problema ou indeterminação para os cossenos, ou seja, se a gente conseguir fazer a parte dos senos virar um grande limite fundamental trigonométrico, já matamos a questão.

E como é que fazemos isso? Pensando no s e n 3 x , por exemplo, basta fazermos:

s e n 3 x = 3 x 3 x ⋅ s e n 3 x = 3 x ⋅ s e n 3 x 3 x

Fazendo o mesmo procedimento para os outros senos da nossa expressão, vamos ter que:  

S =   cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x ⋅ s e n x x ⋅ s e n 3 x 3 x ⋅ s e n 5 x 5 x s e n 2 x 2 x ⋅ s e n 4 x 4 x ⋅ s e n 6 x 6 x ⋅ x ⋅ 3 x ⋅ 5 x 2 x ⋅ 4 x ⋅ 6 x  

Cancelando o x que aparece no numerador e no denominador, finalmente chegamos a:

S =   cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x ⋅ s e n x x ⋅ s e n 3 x 3 x ⋅ s e n 5 x 5 x s e n 2 x 2 x ⋅ s e n 4 x 4 x ⋅ s e n 6 x 6 x ⋅ 15 48  

Passo 3

Passo 4

Opaa, conseguimos chegar na expressão que a gente queria. Porque temos um produto de cossenos, que não tem problema aplicar o limite, e um quociente de senos, mas que estão encaixados em vários limites fundamentais. Daí, aplicando o limite em S , vem que:

lim x → 0 ⁡ s e n x s e n 3 x s e n 5 x t g 2 x t g 4 x t g 6 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x ⋅ s e n x x ⋅ s e n 3 x 3 x ⋅ s e n 5 x 5 x s e n 2 x 2 x ⋅ s e n 4 x 4 x ⋅ s e n 6 x 6 x ⋅ 15 48

Agora, como esses limites existem separadamente e são finitos, vamos separá-los em produtos:

= 15 48 ⋅ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n x x ⋅ s e n 3 x 3 x ⋅ s e n 5 x 5 x s e n 2 x 2 x ⋅ s e n 4 x 4 x ⋅ s e n 6 x 6 x =  

= 15 48 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 15 48 = 5 16

Prontinho, morreu mais um limite!

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n x s e n 3 x s e n 5 x t g 2 x t g 4 x t g 6 x = 5 16

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)