33) Verifique se a função dada tem extensão contínua a toda reta R .

f x = s e n x 2 - 4 x + 2

Passo 1

Eaí pessoal, bora destruir essa questão?!

Bom, primeiramente precisamos entender o que significa essa extensão contínua que o enunciado se referiu.

Sabe quando temos uma função que o denominador zera em determinado ponto, ou que ocorre algum tipo de indeterminação? Geralmente, o que ocorre é que a função não é definida nesse ponto justamente por causa dessas indeterminações. A ideia da extensão contínua é que quando ocorrer essas descontinuidades, mas os limites laterais nesse ponto convergirem, podemos definir a função de forma diferente nesse ponto de modo a gerar uma extensão contínua para f . Sacou a ideia?

Passo 2

Então agora, o que precisamos fazer é justamente descobrir em que valores de x ocorrem essas indeterminações. No caso de f , ela deverá ocorrer onde o denominador se tornar igual a zero. Daí:

x + 2 = 0 ⇔ x =   - 2

Isso significa que se x =   - 2 , temos uma indeterminação em f lhe causando descontinuidade. Precisamos agora verificar se os limites laterais de f em x =   - 2 convergem para o mesmo valor.

  1. lim x → - 2 - ⁡ s e n x 2 - 4 x + 2 = lim x → - 2 - ⁡ x - 2 ⋅ s e n x 2 - 4 x 2 - 4 =   l i m x → - 2 - x - 2 ⋅ lim x → - 2 - ⁡ s e n x 2 - 4 x 2 - 4 =   - 4
  2. lim x → - 2 + ⁡ s e n x 2 - 4 x + 2 = - 4 (basta usar o mesmo raciocínio feito acima).

Passo 3

Ótimo! Como os limites laterais em x =   - 2 convergem para o mesmo valor, podemos sim gerar a extensão contínua de f .

f x =   s e n x 2 - 4 x + 2   ,         x ≠ - 2 - 4                                               ,         x = - 2

Passo 4

Resposta

Sim, f x =   s e n x 2 - 4 x + 2   ,         x ≠ - 2 - 4                                               ,         x = - 2

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