Calcule, caso exista, cada item abaixo

b )   lim x → 0 - ⁡ s e n x x 5 + 3 x 2

Passo 1

Fala galerinha, tudo bem com vocês? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Precisamos calcular esse limite aqui

lim x → 0 - ⁡ s e n x x 5 + 3 x 2

Nosso instinto é sair substituindo x por zero, então vamos lá

lim x → 0 - ⁡ s e n x x 5 + 3 x 2 = s e n 0 0 = 0 0

Opa! Temos uma indeterminação! E agora, como resolver um limite desses?

Mas calma! O limite tem uma propriedade muito legal que é: o limite do produto é o produto dos limites!

Então podemos resolver as indeterminações separadamente, e depois multiplicar os resultados! Mas quantas indeterminações você vê? Eu vejo TRÊS

Isso mesmo! Podemos separar esse limite no produto de três limites! Duas partes de polinômio e uma do seno!

Sempre que você vir algo com seno e embaixo tiver um polinômio, precisamos separar em parte polinomial (para ser avaliado separadamente) e a parte trigonométrica

Você lembra como resolver a parte polinomial? Assim:

  • Identificar o termo dominante (maior expoente) e colocar ele em evidência
  • Analisar o limite no infinito novamente, lembrando que lim x → ± ∞ ⁡ 1 x n = 0 para n ≥ 1

Beleza?

E a outra parte? Essa aí merece um alerta... ALERTA TRUQUE SUJO

Quando tivermos algo do tipo s e n 0 0 precisamos lembrar do limite fundamental do seno

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Então a ideia é manipular o limite e usar o resultado do limite fundamental!

Bora começar?

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Passo 3

Vamos analisar nosso limite com mais carinho

lim x → 0 - ⁡ s e n x x 5 + 3 x 2

Podemos separar em duas partes de razão de polinômio e uma parte com o seno (já visando o limite fundamental)

s e n x x 5 + 3 x 2 = s e n x x 2 ( x 3 + 3 ) = s e n x x   . 1 x   . 1 ( x 2 + 3 )

Tudo bem até aqui?

Ficamos então com o produto de três limites:

lim x → 0 - ⁡ s e n x x . lim x → 0 - ⁡ 1 x .   lim x → 0 - ⁡ 1 ( x 2 + 3 )  

Agora vamos analisar cada um desses limites!

Passo 4

Começando pelo limite bem à esquerda

lim x → 0 - ⁡ s e n x x

Temos o limite fundamental do seno! Esse resultado já sabemos e vale 1 !

lim x → 0 - ⁡ s e n x x = 1

Você também pode aplicar L’Hopital e avaliar novamente o limite:

lim x → 0 - ⁡ s e n x x ⏝ 0 0 = lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ ( x ) 1 = cos ⁡ 0 1 = 1

Nossa missão agora é encontrar o limite das outras duas partes!

Passo 5

O limite central é esse aqui

lim x → 0 - ⁡ 1 x

Quando x → 0 pela esquerda (ou seja, por valores negativos) temos

1 0 - = - ∞

Beleza?

Estamos quase lá!

Analisando o limite da direita temos

lim x → 0 - ⁡ 1 ( x 2 + 3 ) = 1 0 2 + 3 = 1 3

Beleza?

Agora vamos recapitular nosso limite e juntar todos esses resultados!

Passo 6

Nosso limite era esse aqui

lim x → 0 - ⁡ s e n x x 5 + 3 x 2

Dividimos em três partes:

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 . lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x + 2

No passo 2 calculamos o limite mais à esquerda:

lim x → 0 - ⁡ s e n x x = 1

E no passo 3 o mais à direita e do centro

lim x → 0 - ⁡ 1 ( x 2 + 3 ) = 1 3

:

lim x → 0 - ⁡ 1 x = - ∞  

Organizando esses resultados temos o nosso limite (lembrando que o limite do produto é o produto dos limites):

lim x → 0 - ⁡ s e n x x 5 + 3 x 2 = 1 .   - ∞ . 1 3 = - ∞

Ou seja, o limite não existe!

Show de bolinhas! Bora treinar mais?

Resposta

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)