Calcule usando os limites fundamentais.

i ) lim x → ∞ ⁡ x s e n 1 x

Passo 1

Falaaa, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa questão parece complicadinha, eu sei…

Sai pra lá gatinho, quero você aqui feliz e animado, igual nossos alunos do Responde Aí. Assim, olha:

Ok, agora que temos alunos e gatinhos felizes, podemos seguir com a questão hehehe.

O probleminhaaaa quer que calculemos o valor do seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x s e n 1 x

Reformulando a pergunta...

Devemos encontrar o valor daquela função quando o x for igual ou bemmm próximo de infinito.

Como é questão quer que apenas calculemos esse limite é sempre bom tentarmos substituir primeiro o valor a qual o x tende, e observar seu respectivo resultado.

Desse modo,

lim x → ∞ ⁡ x s e n 1 x = lim x → ∞ ⁡ ∞ ⋅ s e n 1 ∞

=   lim x → ∞ ⁡ ∞ ⋅ s e n 0

= ∞ ⋅ 0

Vishh e agora?? Estamos perdidos???

Calmaaa, apenas obtivemos uma indeterminação, ou seja, agora agora não conseguimos determinar se o resultado dessa expressão é zero ou infinito. Mas, lembra que o enunciado disse para utilizarmos algum limite fundamental? Pois bem! Vamos utilizar uma para nos auxiliar nessa questão.

Passo 2

Quais são os limites fundamentais que vocês conhecem???

Bom, como a nossa função é formada pela multiplicação de uma função linear por uma função seno. É possível que o seguinte limite fundamental caia como uma luva nessa questão:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Maravilha! No entanto o seno que temos em questão não é s e n ( x ) e sim s e n ( 1 x ) . Sendo assim, vamos utilizar uma variável auxiliar para nos ajudar nessa questão.

1 x = u

x = 1 u

Como mudamos de variável é essencial entendermos também para onde a nova variável irá tender.

x → ∞ x = 1 u

Logo,

u → 0

Passo 3

Substituindo a nossa expressão pela nova variável, encontramos o seguinte:

lim x → ∞ ⁡ x s e n 1 x = lim u → 0 ⁡ 1 u ⋅ s e n u

Olha só que maravilha! Ficou com a mesma carinha do nosso limite fundamental. Podemos concluir com felicidade que

=   lim u → 0 ⁡ s e n ( u ) u = 1  

Bons Estudos, pimpolhos! :)

Resposta

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