Resolva os itens abaixo:

I Calcule os seguintes limites:

b   lim x → 0 ⁡ x 3 sen 2 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2

Passo 1

Olha a indeterminação que vai dar se a gente substituir o x :

lim x → 0 ⁡ x 3 sen 2 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 = 0 3 sen 2 ⁡ 0 sen ⁡ 1 0 2

= 0 0 sen ⁡ ∞

Vamos então dar uma separada em alguns termos ali:

  lim x → 0 ⁡ x 3 sen 2 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 =   lim x → 0 ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x   lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2

Vamos jogar aquele x junto com o seno, porque aquele argumento do seno vai para , então precisamos usar o teorema do confronto. Para isso, vamos precisar de algo para complementar essa conta, então juntamos o x ali.

Vamos resolver cada limite separado.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer

lim x → 0 ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x = 0 0

Podemos separar em outros dois limites:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x = l i m x → 0 x sen ⁡ x ⋅ l i m x → 0 x sen ⁡ x

Podemos ainda dar uma mudada nisso aí para colocar na forma do limite fundamental trigonométrico: l i m x → 0 x sen ⁡ x = l i m x → 0 1 sen ⁡ x x = 1 l i m x → 0 sen ⁡ x x

Como:

l i m x → 0 sen ⁡ x x = 1

Então:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x = l i m x → 0 x sen ⁡ x ⋅ l i m x → 0 x sen ⁡ x = 1 l i m x → 0 sen ⁡ x x ⋅ 1 l i m x → 0 sen ⁡ x x = 1

Passo 3

Nesse último limite que sobrou nós temos uma indeterminação dentro do seno. Para onde vai tender o sen ⁡ ∞ ? Bom, não sabemos. Porém, é certo que o seno está confinado num intervalo. Por definição:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x 2 ≤ 1

Dessa maneira, pelo Teorema do Confronto, ficamos assim:

lim x → 0 ⁡ x - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 1

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 ≤ 0

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 = 0

Com isso,

lim x → 0 ⁡ x 3 sen 2 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 =   lim x → 0 ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x   lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2

= 1 0 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 3 sen 2 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 = 0

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