Calcule usando os limites fundamentais.

b ) lim x → 0 ⁡ t g   x   x sec ⁡ x

Passo 1

E aii, galerinha!! Como estão? Vamos juntos pra mais uma!!

A questão deseja que encontremos o limite:

lim x → 0 ⁡ t g   x   x sec ⁡ x

A partir de algum limite fundamental. Tá mais e o que significa tudo isso? De maneira simplificada, temos que encontrar o valor da expressão matemática quando o x vai gradativamente se aproximando do valor “zero”. Ok? E como poderemos fazer isso?

Passo 2

Qual é o primeiro procedimento quando temos uma questão de limites? Temos que testar se colocando o valor de x = 0 já conseguimos obter algum resultado concreto. Vamos juntos!

lim x → 0 ⁡ t g   x   x sec ⁡ x =   lim x → 0 ⁡ t g   0   0 sec ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ 0   0 = 0 0

Conseguimos chegar a alguma conclusão?? NÃO, porque eu não consigo determinar de maneira exata essa divisãozinha. Temos que utilizar uma nova abordagem....

Vamos começar reescrevendo a nossa expressão matemática tendo em vista que:

t g   x = s e n   x cos ⁡ x  

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Reescrevendo...

lim x → 0 ⁡ t g   x   x sec ⁡ x =   lim x → 0 ⁡ s e n   x cos ⁡ x x ⋅ 1 cos ⁡ x  

= lim x → 0 ⁡ s e n   x cos ⁡ x x cos ⁡ x  

= lim x → 0 ⁡ s e n   x cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x x

= lim x → 0 ⁡ s e n   x x

Passo 3

Bommm parece que chegamos a outra indeterminação, certo? Errado! Não chegamos à indeterminação nenhuma pois existe um limite fundamenta que afirma justamente isso:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Ou seja, é o valor que precisávamos para finalizar o raciocínio do nosso probleminha. Sendo assim, a resposta é " 1 " . Bacana pessoal? Nesse probleminha obtivemos uma indeterminação bem no início, entretanto, conseguimos contornar esse problema utilizando manipulações matemáticas e com a ajudinha de um limite fundamental.

Resposta

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)