Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites. Caso não exista, justifique.

d )   l i m x → 0 t g ( 3 x ) s e n ( 4 x )

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

A questão pede para que calculemos o limite

l i m x → 0 t g ( 3 x ) s e n ( 4 x )

Para isso iremos ter que manipular a razão que está no limite de maneira que tenhamos um resultado que não é indeterminado. A primeira coisa que costumamos fazer é avaliar a expressão no valor indicado no limite, ou seja, x = 0 , como temos que t g ( 0 ) = 0 e s e n ( 0 ) = 0 , o limite se torna

l i m x → 0 t g ( 3 x ) s e n ( 4 x ) = t g ( 0 ) s e n ( 0 ) = 0 0

O que é indeterminado! Mas, e agora, o que fazemos? Isso é uma resposta válida? NÃO! Vamos manipular a expressão até que este resultado seja claro matematicamente! Vem comigo!

Passo 2

Hmmm, mas o que podemos fazer para reescrever esse limite que é uma razão de funções trigonométricas? A dica que dou é, utilizar relações trigonométricas que conectem ambas as funções! A primeira coisa que podemos lembrar é que

t g ( 3 x ) = s e n ( 3 x ) c o s ( 3 x )

Ou seja, o limite se torna

l i m x → 0 s e n ( 3 x ) / c o s ( 3 x ) s e n ( 4 x ) = l i m x → 0 1 c o s ( 3 x ) s e n ( 3 x ) s e n ( 4 x )

Mas isso ainda não melhorou muita coisa, continua sendo 0 / 0 . Mas, temos um limite fundamental bastante conhecido que será útil desta vez! Temos que

l i m x → 0 s e n ( a x ) a x = 1

em que a é uma constante qualquer! Tente manipular o limite para identificar este limite fundamental! Daí vem checar a resposta comigo!

Passo 3

Primeira coisa que podemos fazer é multiplicar e dividir o nosso limite por 3 x e por 4 x , de forma que possamos escrever

l i m x → 0 1 cos ⁡ 3 x s e n 3 x s e n 4 x

= l i m x → 0 1 cos ⁡ 3 x s e n 3 x s e n 4 x 3 x 3 x 4 x 4 x

= l i m x → 0 1 c o s ( 3 x ) s e n ( 3 x ) 3 x 4 x s e n ( 4 x ) 3 x 4 x

Nós podemos escrever este limite como o produto dos seguintes limites

l i m x → 0 1 cos ⁡ 3 x s e n 3 x 3 x 4 x s e n 4 x 3 x 4 x

= 3 4 l i m x → 0 1 c o s ( 3 x ) l i m x → 0 s e n ( 3 x ) 3 x l i m x → 0 4 x s e n ( 4 x )

Utilizando que

4 x s e n ( 4 x ) = ( s e n ( 4 x ) 4 x ) - 1

Podemos escrever o nosso limite como

3 4 l i m x → 0 1 cos ⁡ 3 x l i m x → 0 s e n 3 x 3 x l i m x → 0 4 x s e n 4 x

= 3 4 l i m x → 0 1 c o s ( 3 x ) l i m x → 0 s e n ( 3 x ) 3 x l i m x → 0 ( s e n ( 4 x ) 4 x ) - 1

Com isso já é possível aplicar nossos limites fundamentais! Apenas precisamos tomar um cuidadinho no último termo! Vem comigo!

Passo 4

Podemos escrever nosso limite como

3 4 l i m x → 0 1 cos ⁡ 3 x l i m x → 0 s e n 3 x 3 x l i m x → 0 ( s e n 4 x 4 x ) - 1

= 3 4 l i m x → 0 1 c o s ( 3 x ) l i m x → 0 s e n ( 3 x ) 3 x ( l i m x → 0 s e n ( 4 x ) 4 x ) - 1

E, uma vez que

l i m x → 0 s e n ( 3 x ) 3 x = l i m x → 0 s e n ( 4 x ) 4 x = 1

E uma que c o s ( 0 ) = 1 , podemos avaliar nosso limite como

3 4 l i m x → 0 1 cos ⁡ 3 x l i m x → 0 s e n 3 x 3 x ( l i m x → 0 s e n 4 x 4 x ) - 1

= 3 4 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) - 1 = 3 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 0 t g ( 3 x ) s e n ( 4 x ) = 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)