Calcule os limites abaixo

e )   lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 + 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Precisamos calcular esse limite aqui

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 + 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x

Nosso instinto é substituir x por - 1 e sair calculando, certo? Ok, então vamos lá:

2 ( - 1 ) + 2 + 3 s e n ( 4 . ( - 1 ) + 4 ) ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) = - 2 + 2 + 3 . s e n ( 0 ) + 1 - 1 = 0 0

Poxa, vida! Encontramos uma indeterminação! Isso só pode significar uma coisa: manipulação!

Beleza até aqui? A ideia é manipular essa expressão para que sejamos capazes de associar, pelo menos um pedaço desse limite, com algum limite fundamental. Mas você lembra quais são eles?

Esse ai você precisa saber! Já anota!

Então a ideia é usar essas informações para manipular e calcular o nosso limite! Bora lá?

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Nosso limite é esse aqui

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 + 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x

Lembrando do limite fundamental do seno, temos o seguinte

lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x = 1

Então é interessante termos separado o seno... e é isso que vamos fazer! Separar em dois limites! Lembrando que o limite da soma é a soma dos limites

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 + 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x = lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 + x ⏝ 1 º + lim x → - 1 ⁡ 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x ⏝ 2 º

Beleza? Agora vamos calcular esses dois limites separadamente!

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos calcular o primeiro limite:

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 + x

Podemos colocar o 2 em evidência em cima e o x embaixo:

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 + x = lim x → - 1 ⁡ 2 ( x + 1 ) x ( x + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ 2 x = 2 - 1 = - 2

Vamos guardar esse resultado!

Passo 4

Agora vamos calcular o segundo!

lim x → - 1 ⁡ 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x

A ideia é manipular até chegarmos próximo do limite fundamental do seno:

lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x = 1

Então vamos primeiro colocar em evidência o x no denominador novamente

lim x → - 1 ⁡ 3 s e n ( 4 x + 4 ) x ( x + 1 )

E o que falta? Um 4! Isso mesmo! Vamos multiplicar e dividir tudo por 4 !

lim x → - 1 ⁡ 3 s e n ( 4 x + 4 ) x ( x + 1 ) . 4 4 = lim x → - 1 ⁡ 12 . s e n ( 4 x + 4 ) x ( 4 x + 4 )

E agora? Sabendo que o limite do produto é o produto dos limites:

lim x → - 1 ⁡ 12 . s e n ( 4 x + 4 ) x ( 4 x + 4 ) = lim x → - 1 ⁡ 12 x ⏝ 12 - 1 . lim x → - 1 ⁡ s e n ( 4 x + 4 ) ( 4 x + 4 ) ⏝ = 1   l i m i t e   f u n d a m e n t a l = - 12.1 = - 12

Aí esse segundo limite fica assim

lim x → - 1 ⁡ 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x = - 12

Beleza? Agora vamos juntar todos esses resultados!

Passo 5

Nosso limite originalmente era

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 + 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x

Dividimos em dois

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 + x ⏝ 1 º + lim x → - 1 ⁡ 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x ⏝ 2 º

O primeiro calculamos no passo 3:

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 + x = - 2

O segundo no passo 4:

lim x → - 1 ⁡ 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x = - 12

Agora é só juntar tudo:

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 + 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x = - 2 - 12 = - 14

E taí nosso resultado!

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 + 3 s e n ( 4 x + 4 ) x 2 + x = - 14

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

- 14

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)