31) Verifique se a função dada tem extensão contínua a toda reta R .

f x = s e n 2 4 x x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho?

Bom, primeiramente precisamos entender o que significa essa extensão contínua que o enunciado se referiu.

Sabe quando temos uma função que o denominador zera em determinado ponto, ou que ocorre algum tipo de indeterminação? Geralmente, o que ocorre é que a função não é definida nesse ponto justamente por causa dessas indeterminações. A ideia da extensão contínua é que quando ocorrer essas descontinuidades, mas os limites laterais nesse ponto convergirem, podemos definir a função de forma diferente nesse ponto de modo a gerar uma extensão contínua para f . Sacou a ideia?

Passo 2

Vamos ver de forma prática como faz isso. Temos:

f x = s e n 2 4 x x

Em x = 0 , o denominador zera e a função não existe nesse ponto. Então, vamos analisar os limites laterais:

  1. lim x → 0 - ⁡ s e n 2 4 x x = lim x → 0 - ⁡ s e n 4 x ⋅ 4 s e n 4 x 4 x , pelo limite fundamental trigonométrico temos que:
  2. lim x → 0 - ⁡ s e n 4 x ⋅ 4 s e n 4 x 4 x = 0

  3. lim x → 0 + ⁡ s e n 2 4 x x = lim x → 0 + ⁡ s e n 4 x ⋅ 4 s e n 4 x 4 x = 0 ⋅ 4 ⋅ 1 = 0  

Logo, os limites laterais convergem para o mesmo valor em x = 0 . Isso significa que podemos gerar uma extensão contínua para f em R , pois definindo f como:

f x =   s e n 2 4 x x ,       x ≠ 0 0   ,                               x = 0

Conseguimos tornar f contínua em R . Ou seja, geramos uma extensão contínua para f .

Pegou a ideia? É isso.

Resposta

Sim, f x =   s e n 2 4 x x ,       x ≠ 0 0   ,                               x = 0

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