Calcule:

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p

Passo 1

Vamos lá! Primeira coisa que a gente vai fazer vai ser substituir x por p e ver o que que esse limite vai dar pra gente!

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = sec ⁡ p - sec ⁡ p p - p = 0 0

Para esse cara temos uma indeterminação de 0 0 . E agora, o que que a gente faz então?

Pra desfazer essa indeterminação, vamos ter então que manipular as expressões do numerador e do denominador matematicamente de forma que a gente consiga desfazer a indeterminação.

Então a primeira coisa que a gente pode fazer é transformar essas secantes em expressões com cossenos:

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ x - 1 cos ⁡ p x - p

= lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x cos ⁡ p cos ⁡ x x - p = lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p cos ⁡ p cos ⁡ x

Show de bola, agora a gente tem mais coisa pra trabalhar, beleza? Vamos continuar mexendo ai pra resolver o nosso limite!

Passo 2

Como esses cossenos do denominador não vão gerar indeterminação, então vou separá –los do limite principal:

= lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

Uma outra coisa que a gente pode fazer é pegar esse x - p e o substituir por uma variável auxiliar u , isso só no primeiro limite. Ficaria assim,

u = x - p     ;     x → p

u → p - p = 0

lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p = lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u + p u

Agora com esse cos ⁡ u + p a gente vai ter outras relações trigonométricas pra trabalhar em cima!

Passo 3

Agora vamos abrir o segundo cosseno pela seguinte propriedade trigonométrica:

cos ⁡ x ± y = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ∓ sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ y

Como temos uma soma fica:

cos ⁡ u + p = cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ p - sen ⁡ u ⋅ sen ⁡ p

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u + p u = lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ p + sen ⁡ u ⋅ sen ⁡ p u

Dando uma arrumada, ele vai parecer beeem mais fácil de sair:

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ p + sen ⁡ u ⋅ sen ⁡ p u

= lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p ( 1 - cos ⁡ u ) u + sen ⁡ p ( sen ⁡ u ) u

A gente pode separar isso como a soma de dois limites. E também, como nosso limite está calculado em u , podemos colocar o que é função de p pra fora do limite. A nossa expressão arrumadinha vai ficar assim então:

= cos ⁡ p lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u + sen ⁡ p lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

Passo 4

Olhando pro primeiro limite, que que a gente vai poder fazer nele? Afinal o denominador ainda está indo pra zero...

lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u

A gente pode multiplicar ele pelo seu conjugado, em cima e embaixo:

lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u = lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u 1 + cos ⁡ u 1 + cos ⁡ u

= lim u → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u

Vale lembrar que sen 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 , ou seja, 1 - cos 2 ⁡ u = sen 2 ⁡ u :

lim u → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u = lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u

Separando temos:

= lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 1 + cos ⁡ u

Substituímos no primeiro limite o Limite Fundamental Trigonométrico, no segundo podemos apenas substituir u → 0 :

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 1 + cos ⁡ u = 1 0 1 + 1

= 1 0 2 = 0

Ufa, acabamos uma parte!

Agora falta resolver sen ⁡ p lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u   e resolver lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x .

Aguenta ai que tá quase!

Passo 5

Esse outro limite também sai no Limite Fundamental Trigonométrico:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Então relembrando, a gente tinha aberto nosso limite inicial em:

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

Ai depois que abrimos lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p ficamos com:

= cos ⁡ p lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u + sen ⁡ p lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

Essa primeira parte a gente já resolveu!

= ( cos ⁡ p 0 + sen ⁡ p 1 ) lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

Agora substituindo x por p no limite:

= sen ⁡ p 1 cos ⁡ p cos ⁡ p = sen ⁡ p cos ⁡ p 1 cos ⁡ p

= tg ⁡ p sec ⁡ p

Ufaaa, até que enfim, agora acabou!

Resposta

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = tg ⁡ p sec ⁡ p

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p