Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9

Passo 1

Substituindo:

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9 = sen 9 - 6 - 3 9 - 18 + 9 = 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Seguinte, vamos começar abrindo todos esses termos do segundo grau:

x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2

x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 )

O que ficaria mais ou menos assim:

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9 = lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 2

Passo 3

Cara, repara que aquele seno está indo para 0 e que o ( x - 3 ) logo embaixo dele também vai a 0 . Poxa, se o termo dentro do seno fosse igual ao que ele está sendo dividido, poderíamos usar o Limite Fundamental, não é?

Para chegar nisso então, vamos multiplicar o termo em cima e embaixo por ( x + 1 ) :

lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 2 x + 1 x + 1

Ali no denominador, o x + 1 para debaixo do seno e tiro um dos x - 3 .

= lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 x + 1 x - 3

Passo 4

Separamos o limite todo em dois:

lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 x + 1 x - 3 = lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 lim x 3 x + 1 x - 3

Para o primeiro, vamos fazer que

u = x - 3 x + 1

o que gera:

u 0

Quando x 3 . Assim:

lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 = lim u 0 sen u u = 1

Com isso, basta analisar o outro limite e teremos o nosso resultado:

lim x 3 x + 1 x - 3 = 4 0 = ±

Vemos que, por zerar o denominador, o limite terá tendências diferentes dependendo de qual lado nos aproximamos. De qualquer jeito, ele não existirá, pois explode para mais ou menos infinito.

Resposta

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9 =

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