Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x 0 sec x - 1 x

Passo 1

Substituindo teremos indeterminação:

lim x 0 sec x - 1 x = sec 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olha, para esse cara, a princípio, não temos nenhum limite fundamental que possamos aplicar. Agora, tem ali um x no denominador e funções trigonométricas que me parece dar a entender que podemos achar um seno a partir desse sec x - 1 do numerador.

Então, é o seguinte, vamos lembrar de uma relação da trigonometria:

1 + tg 2 x = sec 2 x sec 2 x - 1 = tg 2 x

Po, repara, o numerador do meu limite pode ser multiplicado pelo conjugado dele, ou seja, sec x + 1 , para gerar essa relação e ter tudo em função da tangente:

sec 2 x - 1 = sec x - 1 sec x + 1 = tg 2 x

Então multiplicamos esse cara por cima e por baixo da função, para manter a igualdade:

lim x 0 sec x - 1 x sec x + 1 sec x + 1

= lim x 0 tg 2 x x 1 + sec x

Passo 3

Bom, escrevendo a tangente em função de seno e de cosseno, olha o que teríamos:

lim x 0 tg 2 x x 1 + sec x = lim x 0 sen 2 x cos 2 x 1 x 1 + sec x

= lim x 0 sen x x lim x 0 sen x lim x 0 1 cos 2 x 1 + sec x

Repara, no primeiro termo temos o limite fundamental trigonométrico! No segundo só existem termos que podemos substituir de primeira, lembrando que cos 0 = sec 0 = 1 :

= lim x 0 sen x x lim x 0 sen x lim x 0 1 cos 2 x 1 + sec x = 1 0 1 1 2 1 + 1

= 1 2 0 = 0

Resposta

lim x 0 sec x - 1 x = 0

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