Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ π x tan ⁡ x

Passo 1

Vamos começar expandindo as tangentes.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ ( π x ) cos ⁡ ( π x ) sen ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x )

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ ( π x ) cos ⁡ ( x ) sen ⁡ ( x ) cos ⁡ ( π x )

Agora vamos multiplicar a expressão por π x para usarmos o limite fundamental trigonométrico.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ π x cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ π x . π x π x

lim x → 0 ⁡ ( π x ) cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ π x

Aproveitando o x que sobrou no numerador vamos poder usar o limite fundamental trigonométrico de novo.

lim x → 0 ⁡ π cos ⁡ x cos ⁡ π x = π cos ⁡ 0 cos ⁡ π . 0 = π 1 = π

Resposta

π

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p