Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ ( π x ) 1 - x ²

Passo 1

Substituindo x :

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ ( π x ) 1 - x ² = 0 0

Passo 2

Aqui temos uma indeterminação, então temos que fazer umas manipulações marotas! Olhando pro denominador, de cara, tem um uma diferenças de quadrados que pode ser reescrita como

1 - x 2 = 1 - x 1 + x

Assim o nosso limite fica

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x 2 = lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x 1 + x

Quem faz o denominador ser 0 é ( 1 - x ) , então podemos separar o nosso limite e prestar atenção no cara que faz a indeterminação aparecer

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x 1 + x = lim x → 1 ⁡ 1 1 + x × lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x

Passo 3

O primeiro limite é molezinha!

lim x → 1 ⁡ 1 1 + x = 1 1 + 1 = 1 2

A nossa indeterminação tá no segundo cara. Como temos um seno dividido por ( 1 - x ) seria show poder aplicar o limite fundamental. Pra isso vamos fazer a substituição u = 1 - x , assim o segundo termo fica

u = 1 - x → x = 1 - u

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x = lim u → 0 ⁡ s e n π 1 - u u

Podemos expandir o seno usando trigonometria

s e n π 1 - u = s e n π - π u = s e n π cos ⁡ π u - cos ⁡ π s e n π u

s e n π 1 - u = 0 cos ⁡ π u - ( - 1 ) s e n π u

s e n π 1 - u = s e n ( π u )

Passo 4

O nosso limite fica

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ π u u

Usando o limite fundamental

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ π u u = π

Agora é só juntar tudo!

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x 2 = 1 2 × π

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x 1 - x 2 = π 2

Resposta

π 2

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p