Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → - 0 ⁡ sen ⁡ x + sen ⁡ ( 3 x ) + sen ⁡ ( 5 x ) tan ⁡ 2 x + tan ⁡ ( 4 x ) + tan ⁡ ( 6 x )

Passo 1

Essa é uma questão típica em que teremos que usar o limite fundamental trigonométrico. Mas antes, precisamos fazer algumas manipulações. Primeiro, vamos escrever a função tangente na forma sin ⁡ x cos ⁡ x .

lim x → - 0 ⁡ sen ⁡ x + sen ⁡ ( 3 x ) + sen ⁡ ( 5 x ) sen ⁡ 2 x cos ⁡ ( 2 x ) + sen ⁡ 4 x cos ⁡ ( 4 x ) + sen ⁡ 6 x cos ⁡ ( 6 x )

Agora, observe que, como x está tendendo a zero, todos os cossenos estão tendendo a 1 pois

cos ⁡ 0 = 1

Então, podemos tirar todos os senos da expressão.

lim x → - 0 ⁡ sen ⁡ x + sen ⁡ ( 3 x ) + sen ⁡ ( 5 x ) sen ⁡ 2 x + sen ⁡ 4 x + sen ⁡ 6 x

Passo 2

Finalmente podemos usar o limite fundamental trigonométrico. Pra isso, vamos multiplicar cada seno pelo coeficiente numérico dentro do parênteses e dividir cada seno por toda a expressão dentro do parênteses. Fica assim:

lim x → - 0 ⁡ 1 sen ⁡ ( x ) x + 3 sen ⁡ ( 3 x ) 3 x + 5 sen ⁡ ( 5 x ) 5 x 2 sen ⁡ 2 x 2 x + 4 sen ⁡ 4 x 4 x + 6 sen ⁡ 6 x 6 x

Ta feio né? Mas agora vai ficar bonito. Usando o limite fundamental trigonométrico, podemos cortar cada seno com o seu respectivo denominador. Então fica assim:

lim x → - 0 ⁡ 1 + 3 + 5 2 + 4 + 6 = 9 12 = 3 4

Resposta

3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p