Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta R .

f x = sen ⁡ ( x 2 - 4 )   x + 2

Passo 1

-

A função terá extensão contínua se o limite existir no ponto de restrição do domínio, assim sendo. Vamos calcular o limite para x = - 2 , onde o denominador zera:

lim x → - 2 ⁡ sen ⁡ x 2 - 4 x + 2 = lim x → - 2 ⁡ sen ⁡ x + 2 x - 2 x + 2

Vamos tentar chegar no limite fundamental trigonométrico. Para isso, precisamos ter a mesma expressão em cima e em baixo, portanto, multiplicamos e dividimos por x - 2 :

lim x → - 2 ⁡ sen ⁡ x + 2 x - 2 x + 2 ⋅ x - 2 x - 2 = lim x → - 2 ⁡ sen ⁡ x + 2 x - 2 x + 2 x - 2 ⋅ x - 2

Usando as propriedades dos limites, temos que:

lim x → - 2 ⁡ sen ⁡ x + 2 x - 2 x + 2 x - 2 ⋅ x - 2 = l i m x → - 2 sen ⁡ x + 2 x - 2 x + 2 x - 2 ⋅ l i m x → - 2 x - 2

Para o limite à esquerda, podemos chegar no limite fundamental trigonométrico fazendo a substituição:

u = x + 2 x - 2

Quando x → - 2

u → - 2 + 2 - 2 - 2 = 0

Assim:

l i m x → - 2 sen ⁡ x + 2 x - 2 x + 2 x - 2 = l i m u → 0 sen ⁡ u u = 1

Para o limite a direita, podemos substituir diretamente:

l i m x → - 2 x - 2 = - 2 - 2 = - 4

Resultando em:

… = l i m x → - 2 sen ⁡ x + 2 x - 2 x + 2 x - 2 ⋅ l i m x → - 2 x - 2 = 1 ⋅ - 4 = - 4

Como o limite existe e é igual a - 4 , temos extensão contínua com f x = - 4 no ponto x = - 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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