44. Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x = 0

Ilustre, fazendo os gráficos das funções f , g e h (como no Teorema do Confronto) na mesma tela.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos usar o teorema do confronto para mostra que

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x = 0

O Teorema do Confronto diz que se temos as funções g x ,   f x e h ( x ) e temos que:

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h x = L

E:

g x ≤ f x ≤ h x

Então, resulta destas condições que:

lim x → a ⁡ f x = L

Passo 2

Como temos uma função seno ali no meio, vamos usar o fato da função seno estar sempre entre -1 e 1:

- 1 ≤ sen ⁡ π x ≤ 1

Agora podemos multiplicar por x 3 + x 2 em cada parte:

- x 3 + x 2 ≤ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ x 3 + x 2

E aplicamos o limite, com x tendendo a zero:

lim x → 0 ⁡ - x 3 + x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2

Calculando os limites das pontas, encontramos:

lim x → 0 ⁡ - x 3 + x 2 = - 0 3 + 0 2

= 0

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 = 0 3 + 0 2

= 0

Então:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ 0

E, pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x = 0

Passo 3

Usando:

lim x → 0 ⁡ - x 3 + x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2

Conseguimos achar as funções f ,   g   e   h :

f x = x 3 + x 2 sen ⁡ π x

g x = - x 3 + x 2

h x = x 3 + x 2

Plotando no gráfico:

Em verde temos a f , em vermelho temos a g e em azul temos a h .

Resposta

Demonstração

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.