9. Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2   exista? Caso exista, encontre a e o valor do limite.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão a primeira coisas que nos é perguntada é se tem como o lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 existir, pra algum valor de a .

Galera, aqui nós temos uma divisão de polinômios, onde o denominador zera em x = - 2 . Se o numerador zerar também nesse ponto, teremos uma indeterminação do tipo 0 0 e esse limite existe.

Como assim, se der 0 0 o limite existe?

Acontece que se o numerador também zerar em x = - 2 , isso significa que -2 é uma raíz do numerador. E se isso rolar, podemos fatorar tanto o numerador quanto o denominador, que um termo ( x + 2 ) vai aparecer em cima e embaixo. E aí a gente vai poder cortar ele e se livrar da indeterminação. Legal ne?

Então bora achar quem é a , para que o numerador também seja nulo, quando x = - 2 .

Passo 2

Para achar quem é a temos que substituir - 2 nessa expressão

3 x 2 + a x + a + 3 = 0

Substituindo,

3 - 2 2 + a - 2 + a + 3 = 0

12 - a + 3 = 0

a = 15

Agora vamos calcular o limite!

Passo 3

Precisamos achar,

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 = lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + 15 x + 18 x 2 + x - 2 = 0 0

Vamos fatorar dividindo por x + 2   para calcular esse limite,

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + 15 x + 18 x 2 + x - 2 = lim x → - 2 ⁡ 3 x + 3 x + 2 x - 1 x + 2

Olha aí o que eu falei la no passo 1. Se -2 é raíz do numerador e do denominador, quando a gente fatora os dois, aparece o termo ( x + 2 ) em cima e embaixo. E agora a gente simplifica cortando ele!

E agora podemos calcular o limite que não vai mais daruma indeterminação

lim x → - 2 ⁡ 3 x + 3 x - 1 = 3 - 2 + 3 - 2 - 1 = - 1

Prontinho!

Resposta

- 1

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.