Seja f   :   R   →   R uma função satisfazendo f x ≤ x ² para todo x   ∈   R . Mostre que

lim x → 0 ⁡ f x = 0   e   lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = 0

Podemos dizer alguma coisa sobre lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² ?

Passo 1

Faaala pessoal 😊, nesse exercício vamos nos pautar no teorema do confronto (ou teorema do sanduíche, para os mais íntimos kk).

i-

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Galera, temos que a questão afirma f x ≤ x ² , em outras palavras temos:

- x 2 ≤ f x ≤ x ²

Dessa forma, se aplicarmos o limite com x → 0 :

lim x → 0 ⁡ - x ² ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x ²

- 0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

Logo, podemos confirmar lim x → 0 ⁡ f x = 0   via Teorema do confronto.

Passo 2

ii-

Pra provar lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = 0 é baba, reaproveitemos umas partes do passo 1:

- x 2 ≤ f x ≤ x ²

Multiplicando por 1 x :

- x ≤ f ( x ) x ≤ x

Aplicando novamente o limite:

- 0 ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ≤ 0

Logo confirmamos também que lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = 0 pelo Teorema do confronto

Passo 3

Por fim, lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² seria:

- x 2 ≤ f x ≤ x ²

Multiplicando por 1 x ² e aplicando o limite:

- 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² ≤ 1

Então não conseguimos valor exato para o limite.

Finalizamos galerinha 😊

Resposta

Resolução no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.