16)A função f é tal que para x ≠ 2 , f satisfaz 1 + 4 x - x 2 ≤ f x ≤ x 2 - 4 x + 9 . Calcule lim x → 2 ⁡ f ( x ) .

Passo 1

Eaí pessoal, tudo certinho com vocês?

Questãozinha de teorema do confronto (ou Teorema do Sanduíche, mas esse nome me dá fome), então vamos revisar rapidinho o que ele diz:

Se a gente tem 3 funções: h ,   f   e g . E for verdade que:

h x ≤ f x ≤ g ( x )

Então, também vale que:

lim x → p ⁡ h x ≤   lim x → p ⁡ f x ≤   lim x → p ⁡ g x    

Um detalhe importante é que, embora nessa questão o enunciado diga que a desigualdade entre as funções só é válida para x ≠ 2 , ainda podemos usar o teorema do confronto quando x tende a 2. Isso porque, de fato, trata-se de uma tendência, ou seja, o x se aproxima bastante mesmo de 2, mas não assume esse valor, de modo que a desigualdade entre as funções ainda vale. Sacou?

Passo 2

Usando o nosso teorema do confronto, temos que:

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2 = 1 + 4 ⋅ 2 - 2 2 = 5 lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9 = 2 2 - 4 ⋅ 2 + 9 = 5

Olha só que resultados interessantes, reescrevendo a desigualdade dos limites a gente chega a uma conclusão massa e bem recorrente em questões desse tipo:

5 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ 5

⇒ lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5

Prontinho! Conseguimos usar o teorema do confronto pra determinar o limite de f ( x ) .

Resposta

lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.