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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Q01c) Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. Justifique suas respostas:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 5

Passo 1

Quando a gente olha pra esse limite, ficamos um pouco confusos, porque o seno é uma função oscilatória, e:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x 5 = sin ⁡ 1 0 = sin ⁡ ∞ =   ? ? ? ?

Ou seja, esse resultado não é muito conclusivo né? Mas olha só, não importa quem seja a função dentro do seno, uma coisa é sempre verdade sobre o seno:

- 1 ≤ sin ⁡ u ≤ 1

No nosso caso u = 1 x 5 :

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x 5 ≤ 1

Se esse seno está limitado por duas funções constantes e sin ⁡ 1 x 5 difere de x 2 sin ⁡ 1 x 5 somente pelo x 2 , pelo teorema do confronto (ou do sanduíche, depende se você está ou não com fome), podemos multiplicar a inequação toda por x 2 :

- x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x 5 ≤ x 2

E agora é só aplicar o limite:

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 5 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Resolvendo os limites das extremidades:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 5 ≤ 0

Pô, se o limite ta entre 0 e 0 só pode ser 0 então:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 5 = 0

Passo 2

Nesse passo vou só dar uma contextualizada pra você ver o quão bonito é esse resultado. Apesar de x 2 sin ⁡ 1 x 5 não estar definido pra x = 0 da pra ver realmente que o limite da função é 0 :

Lindo, não?

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 5 = 0

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Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x