Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 16

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → + ∞ ⁡ x - sen ⁡ x x + sen ⁡ x

Passo 1

Por substituição direta esse limite resulta na indeterminação - ∞ ∞ , por isso temos que manipulá-lo pra sair dessa. Observe a mágica que vai acontecer:

lim x → + ∞ ⁡ x - sen ⁡ x x + sen ⁡ x = l i m x → + ∞ x - sen ⁡ x x x + sen ⁡ x x

l i m x → + ∞ x x - sen ⁡ x x x x + sen ⁡ x x

l i m x → + ∞ 1 - sen ⁡ x x 1 + sen ⁡ x x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Usando a propriedade dos limites que permite transformar o limite de um quociente em um quociente de limites teremos:

l i m x → + ∞ 1 - sen ⁡ x x l i m x → + ∞ 1 + sen ⁡ x x

l i m x → + ∞ 1 - l i m x → + ∞ sen ⁡ x x l i m x → + ∞ 1 + l i m x → + ∞ sen ⁡ x x

1 - l i m x → + ∞ sen ⁡ x . 1 x 1 + l i m x → + ∞ sen ⁡ x . 1 x

Como sen ⁡ x é uma função limitada e

l i m x → + ∞ 1 x = 0

Podemos usar o Teorema do Anulamento e obter

1 - 0 1 + 0 = 1 1 = 1

Resposta

1

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