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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule o limite ou explique porque não existe.

b   lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x 2 - 1 + 1 - cos ⁡ x - 1 sen ⁡ 1 x - 1 x - 1

Passo 1

Se a gente substituir x → 1 nesse cara vai cair numa indeterminação feia, nem vale à pena escrevê-la. Agora, não sei se já te saltou aos olhos, mas esse limite tem muitos termos ( x - 1 ) . É o seguinte, vou fazer uma substituiçãozinha:

u = x - 1

x → 1   ; u = 1 - 1 = 0   ; u → 0

Assim, o limite fica:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 1 - cos ⁡ x - 1 sen ⁡ 1 x - 1 x - 1

= lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u + 2 u + 1 - cos ⁡ u sen ⁡ 1 u u

= lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u + 2 u u + lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u sen ⁡ 1 u u

Vamos agora resolver cada um dos limites.

Passo 2

Para resolver esse termo do seno podemos forçar a aparecer ali o limite Fundamental multiplicando em cima e embaixo por ( u + 2 ) :

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u + 2 u u = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u + 2 u u u + 2 u + 2

= lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u + 2 u u + 2 u u + 2

= lim u → 0 ⁡ u + 2 lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u + 2 u u u + 2

= 0 + 2 lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t

= 2 1

= 2

Passo 3

Para o outro limite usaremos o Teorema do Confronto:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 u ≤ 1

lim u → 0 ⁡ - 1 - cos ⁡ u u ≤ lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u sen ⁡ 1 u u ≤ lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u

Quando ao limite à esquerda e à direta das inequações:

lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u = lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u ⋅ 1 + cos ⁡ ( u ) 1 + c o s ⁡ ( u ) = lim u → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ u u ( 1 + cos ⁡ ( u ) ) = lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ u u ( 1 + cos ⁡ ( u ) ) ⁡

Podemos tirar o limite fundamental disso aí:

lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ u u ( 1 + cos ⁡ ( u ) ) = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u ⋅ lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 1 + cos ⁡ u = 1 ⋅ 0 2 = 0 ⁡

Com isso, concluímos que, pelo teorema do confronto:

lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u sen ⁡ 1 u u = 0

Passo 4

Agora voltamos à soma de limites inicial e tomamos o resultado final:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u + 2 u u + lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u sen ⁡ 1 u u

= 2 + 0

= 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x 2 - 1 + 1 - cos ⁡ x - 1 sen ⁡ 1 x - 1 x - 1 = 2

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