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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule o limite ou prove que não existe:

b   lim x → 0 ⁡ x 2 g ( x ) ,     o n d e   g x = 1 ,                         s e   x   ∈   Q - 1 ,                   s e   x   ∉   Q

Passo 1

Independente de qualquer coisa sobre g ( x ) , sabemos que ela necessariamente pertencerá ao intervalo [ - 1,1 ] . Melhorando,

- 1 ≤ g x ≤ 1

Ora, se multiplicamos tudo por x 2 e aplicamos o limite indo para x → 0 fica assim, pelo Teorema do Confronto:

- x 2 ≤ x 2 g x ≤ x 2

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 g x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Esses limites das pontas nós conseguimos calcular!

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Logo,

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 g x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 g x ≤ 0

lim x → 0 ⁡ x 2 g x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 g x = 0

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