Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

Calcule o limite ou justifique porque não existe:

a ) lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 5 sen ⁡ x x x sen ⁡ 3 x

Passo 1

Vamos começar sempre substituindo no limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 5 sen ⁡ x x x sen ⁡ 3 x = ∞ ∞

Temos aqui uma indeterminação sacana. Então vamos ter que manipular um pouco o limite para poder chegar em algo mais concreto.

Repare lá que temos sen ⁡ x no numerador e x no denominador. Então podemos tentar tirar um teorema do confronto daí.

Além disso, temos também sen ⁡ 3 / x e x , substituindo isso, também podemos chegar num limite fundamental trigonométrico. Vamos então manipular o limite em cima dessas constatações. Vamos lá?

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Passo 2

Para começar, vamos deixar sen ⁡ x e x separados do restante do limite e abrir em outros limites:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 5 sen ⁡ x x x sen ⁡ 3 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x x x sen ⁡ 3 x + 5 x sen ⁡ 3 x ⋅ sen ⁡ x x =

Separando em três limites: … = l i m x → + ∞ 2 x x x sen ⁡ 3 x + l i m x → + ∞ 5 x sen ⁡ 3 x ⋅ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x

Vamos agora aplicar o teorema do confronto no limite mais à direita: - 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Multiplicando tudo por 1 / x :

- 1 x ≤ sen ⁡ x x ≤ 1 x

Aplicando o limite: - l i m x → + ∞ 1 x ≤ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x ≤ l i m x → + ∞ 1 x ⟹ 0 ≤ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x ≤ 0

Logo, pelo teorema do confronto: l i m x → + ∞ sen ⁡ x x = 0

Passo 3

Legal, agora você pode pensar que, como o limite deu zero, então:

l i m x → + ∞ 5 x sen ⁡ 3 x ⋅ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x = l i m x → + ∞ 5 x sen ⁡ 3 x ⋅ 0 = 0

Isso nem sempre é verdade. Para confirmar se é ou não, precisamos ver se o primeiro limite dá o que geraria a indeterminação ∞ ⋅ 0 , por exemplo.

Então vamos calculá-lo. Veja que o que está dentro do seno está tendendo a zero quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ 3 x = 0

Assim, podemos tentar fazer uma substituição simpática para chegar num limite fundamental trigonométrico. Podemos considerar: u = 3 x

Ai, nesse caso, quando x → ∞ :

x → ∞ ⟹ u = 3 ∞ → 0

Além disso, temos que: u = 3 x ⟹ x = 3 u

Assim, substituindo:

l i m x → + ∞ 5 x sen ⁡ 3 x = lim u → 0 ⁡ 5 3 u ⋅ sen ⁡ u = 5 3 1 l i m u → 0 sen ⁡ u u  

Esse limite que apareceu é o limite fundamental trigonométrico, que é sempre 1 . Assim:

l i m x → + ∞ 5 x sen ⁡ 3 x = 5 3 ⋅ 1 = 5 3

Portanto:

l i m x → + ∞ 5 x sen ⁡ 3 x ⋅ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x = 5 3 ⋅ 0 = 0

Passo 4

Já acabou? Ainda não, mas estamos quase lá, te prometo. Ainda falta:

l i m x → + ∞ 2 x x x sen ⁡ 3 x

Podemos simplifica-lo “cortando” o x . Assim:

l i m x → + ∞ 2 x x x sen ⁡ 3 x = l i m x → + ∞ 2 x sen ⁡ 3 x

Fazendo a mesma substituição do passo anterior: l i m x → + ∞ 2 x sen ⁡ 3 x = 2 3 1 l i m u → 0 sen ⁡ u u = 2 3

Assim sendo:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 5 sen ⁡ x x x sen ⁡ 3 x = l i m x → + ∞ 2 x x x sen ⁡ 3 x + l i m x → + ∞ 5 x sen ⁡ 3 x ⋅ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x = 2 3

Pronto!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 5 sen ⁡ x x x sen ⁡ 3 x = 2 3

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