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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

( a ) Calcule, caso existam, os seguintes limites:

i i )   lim x → + ∞ ⁡ 2 x + cos ⁡ x + 3 x x + sen ⁡ x

Passo 1

Substituindo o limite vamos achar uma indeterminação bem estranha:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + cos ⁡ x + 3 x x + sen ⁡ x

= ∞ + cos ⁡ ∞ ∞ + sen ⁡ ∞

Vamos botar o x em evidência em cima e embaixo e cortá-lo:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + cos ⁡ x + 3 x x + sen ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + cos ⁡ x x + 3 x x 1 + sen ⁡ x x

= lim x → + ∞ ⁡ 2 + cos ⁡ x x + 3 x 1 + sen ⁡ x x

Vamos analisar então limite por limite.

Passo 2

Temos que - 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1 . Dessa maneira, pelo Teorema do Confronto achamos que

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x ≤ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x x ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 x

0 ≤ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x x ≤ 0

Concluímos que lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x x = 0 .

Pelo mesmo Teorema podemos provar, já que - 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 que

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x ≤ lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 x

0 ≤ lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x ≤ 0

Logo, lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x = 0 .

Ainda temos que lim x → + ∞ ⁡ 3 x = 0 .

Passo 3

Agora podemos voltar para o limite de antes e substituir os 3 valores:

lim x → + ∞ ⁡ 2 + cos ⁡ x x + 3 x 1 + sen ⁡ x x

= 2 + 0 + 0 1 + 0

= 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + cos ⁡ x + 3 x x + sen ⁡ x = 2

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