Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

Calcule o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 - x cos ⁡ e x

Passo 1

A primeira coisa é substituir no limite para ver o que acontece: lim x → ∞ ⁡ 2 - x cos ⁡ e x = 0 cos ⁡ ∞

Como o cosseno fica variando entre - 1 e 1 não sabemos o que está acontecendo aqui. Mas quando temos dentro do cosseno, pode ser interessante usar o teorema do confronto.

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Passo 2

O cosseno está sempre entre:

- 1 ≤ cos ⁡ e x ≤ 1

Vamos manipular isso aí para o limite que estamos tentando calcular apareça no meio. Para tal, multiplicamos por 2 - x em cada lado: - 2 - x ≤ 2 - x cos ⁡ e x ≤ 2 - x

Aplicando o limite em cada lado:

- l i m x → ∞ 2 - x ≤ l i m x → ∞ 2 - x cos ⁡ e x ≤ l i m x → ∞ 2 - x

Sendo:

l i m x → ∞ 2 - x = 0

Então:

0 ≤ l i m x → ∞ 2 - x cos ⁡ e x ≤ 0

Como temos zero na parte esquerda e direita da inequação, então, pelo teorema do confronto: l i m x → ∞ 2 - x cos ⁡ e x = 0

Pronto!

Resposta

l i m x → ∞ 2 - x cos ⁡ e x = 0

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