Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

Propriedades dos Limites

Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas.

d)

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4

Passo 1

Se substituirmos o x → 0 cairemos numa indeterminação no argumento do seno, que explodirá para seno de + ∞ . Nessa situação podemos resolver de dois jeitos: o jeito garantido e o jeito que tira onda.

I ) Jeito garantido:

Eu sei que seno está definido entre ± 1 . Tendo isso, eu posso definir que o limite acima está entre isso, uma vez que o seno está indefinido dentro desse limite:

lim x → 0 ⁡ - x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ + x 4 = 0

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 = 0

I I ) Jeito que tira onda:

Eu vou reescrever esse limite assim:

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x 4 1 x 4

Vou fazer uma substituição chamando de u o termo 1 / x 4 . Com isso vou mudar o limite também, saca aqui embaixo:

u = 1 x 4   ;     x → 0 ,     e n t ã o   u → 1 0 = + ∞

Agora vou reescrever:

lim u → + ∞ ⁡ sen ⁡ u u

Aí a partir desse você pode usar o teorema do Confronto da mesma forma que fizemos antes (o resultado será, ou pelo menos deveria ser, o mesmo)!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 = 0

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