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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule o limite ou prove que não existe:

b   lim x → - ∞ ⁡ e x sen ⁡ ( x )

Passo 1

Substituindo esse limite fica assim:

lim x → - ∞ ⁡ e x sen ⁡ x

= 0 sen ⁡ ( ∞ )

Mas quanto seria esse seno de ? A gente nunca vai saber. O que a gente sabe é que o seno está sempre entre - 1 e + 1 , ou seja

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Passo 2

Ora, se multiplicarmos tudo por e x e adicionarmos o limite ficará assim:

- e x ≤ e x sen ⁡ x ≤ e x

lim x → - ∞ ⁡ - e x ≤ lim x → - ∞ ⁡ e x sen ⁡ ( x ) ≤ lim x → - ∞ ⁡ e x

Agora só temos que calcular os dois limites das pontas. Como vamos ver, ambos zeram:

lim x → - ∞ ⁡ - e x

= - e - ∞ = - 0

= 0

lim x → - ∞ ⁡ e x

= + e - ∞ = 0

= 0

Assim,

lim x → - ∞ ⁡ - e x ≤ lim x → - ∞ ⁡ e x sen ⁡ ( x ) ≤ lim x → - ∞ ⁡ e x

0 ≤ lim x → - ∞ ⁡ e x sen ⁡ ( x ) ≤ 0

lim x → - ∞ ⁡ e x sen ⁡ ( x ) = 0

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ e x sen ⁡ ( x ) = 0

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