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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Passo 1

Começamos substituindo esse cara aí:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 1 = ln ⁡ 1 2 sen ⁡ 1 1 - 1 = 0 sen ⁡ 1 0

Indeterminação no argumento do seno! Vamos usar algum processo que elimine ela.

Passo 2

Aqui podemos usar o teorema do confronto, considerando que esse seno é uma função limitada entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x - 1 ≤ 1

Multiplicando esse seno por ln ⁡ x 2 e aplicando o limite para x → 1 , teremos o seguinte:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 ≤ lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 1 ≤ lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 1

- lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 ≤ lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 1 ≤ lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2

Passo 3

Assim, calculamos os limites das pontas:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 = ln ⁡ 1 2 = 0 2 = 0

- lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 = 0       ;       lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 = 0

Logo,

0 ≤ lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 1 ≤ 0

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 1 = 0

Resposta

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 1 = 0

l i m i t e   e x i s t e

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