Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P1, Questão 1a.

Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. Justifique suas respostas.

a lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x 9

Passo 1

(a) Então pessoal, tem um monte de expressões complicadas ali, mas vamos olhar uma por uma com calma.

O primeiro limite que a gente quer resolver é esse aqui:

lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x 9

Logo de cara: dá pra simplesmente substituir com x = 0 ? Olha o que ia acontecer:

lim x → 0 ⁡ 0 2 cos ⁡ 1 0 9

Aparece um zero naquele denominador, então isso não vai dar certo. Temos que pensar em outro jeito.

Esse limite aí é um exemplo clássico em que a gente pode usar o teorema do sanduíche!

Esse teorema é muito útil quando você tem uma função limitada (que é o caso do cosseno, que varia só entre - 1 e 1 ) multiplicada por uma função que vai pra zero (que é o caso do x 2 quando x → 0 ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A ideia é a seguinte, a gente vai achar duas funções bem simples, que tenham um limite fácil de calcular.

Uma delas vai sempre ser maior ou igual à nossa, e a outra vai ser sempre menor ou igual. A ideia é que essas duas formem um sanduíche com a função da questão.

A nossa função é essa aqui:

g x = x 2 cos ⁡ 1 x 9

Vamos procurar uma função h x que seja sempre maior ou igual a essa. Bom, já que aquele cosseno ali sempre vai ser no máximo igual a 1 , então essa função aqui:

h x = x 2

Sempre é maior ou igual a g ( x ) . Ok, achamos o primeiro lado do sanduíche:

x 2 ≥ x 2 cos ⁡ 1 x 9

Passo 3

Agora é só pensar pela mesma lógica pra encontrar o outro lado do sanduíche! Vamos olhar nossa função de novo:

g x = x 2 cos ⁡ 1 x 9

A gente já viu que o valor máximo é x 2 , que acontece quando o cosseno dá 1 . E qual o outro extremo?

O valor mínimo acontece quando o cosseno dá - 1 ! Ou seja, essa função aqui:

f x = - x 2

É sempre menor ou igual à nossa função! Ótimo, nosso sanduíche está completo:

- x 2 ≤ x 2 cos ⁡ 1 x 9 ≤ x 2

Dá uma olhada no gráfico pra entender isso melhor:

É um sanduíche perfeito!

Passo 4

Tá, e como você vai calcular o limite com essa relação? Bom, o teorema do sanduíche diz o seguinte, se você tem três funções seguindo essa regra aqui:

f x ≤ g x ≤ h x

E os limites de f ( x ) e h ( x ) são iguais:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ h ( x ) = L

Então o limite de g ( x ) também é L quando o x tende a esse mesmo valor a .

Esse é exatamente o nosso caso! Quando o nosso x tende a zero, os limites das funções do nosso sanduíche são:

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

lim x → 0 ⁡ - x 2 = 0

Nos dois casos é só substituir direto pra calcular o limite.

Então, pelo teorema do sanduíche (ah, na sua prova você pode escrever “teorema do confronto”, que é o nome mais correto hahaha):

lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x 9 = 0

Ok, o primeiro limite já foi.

Resposta

(a) lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x 9 = 0 .

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