3. Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 20 π x = 0 . Ilustre fazendo os gráficos, no mesmo sistema de coordenadas, f x = - x 2 , g ( x ) = x 2 c o s 20 π x e h x = x 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que aplicar o teorema do confronto para obter o limite de x 2 cos ⁡ 20 π x para x tendendo a 0 .

Sacou? 😉

O limite de uma função é um conceito fundamental da matemática que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

O Teorema do Confronto é usado para avaliar o limite de uma função quando se aproxima de um valor a . A ideia do teorema é que, se conseguirmos encontrar duas funções g x e h x , ambas definidas em um intervalo que inclui a , tais que:

g x ≤ f x ≤ h x para todos os valores de x no intervalo, exceto possivelmente em a . Então:

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então, podemos concluir que:

lim x → a ⁡ f x = L

Esse teorema meu muito usado para limites de funções trigonométricas.

Legal, né? Bora começar! 😎

Passo 2

Sabemos que a função cosseno varia entre - 1 e 1 , ou seja, cos ⁡ 20 π x é definido entre - 1 e 1 .

- 1 ≤ cos ⁡ 20 π x ≤ 1

Se multiplicarmos todos os lados por x 2 , vamos obter que

- x 2 ≤ x 2 cos ⁡ 20 π x ≤ x 2

Assim, aplicando o limite desses lados para x tendendo a 0 , temos

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 20 π x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Agora calculamos o limite apenas dos extremos pelo método da substituição

lim x → 0 ⁡ - x 2 = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Substituindo na inequação...

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 20 π x ≤ 0

Então, certamente

lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 20 π x = 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Vamos esboçar os gráficos de f x = - x 2 , g ( x ) = x 2 c o s 20 π x e h x = x 2 .

A função f x e g x são parábolas conhecidas onde f x tem concavidade voltada para baixo e h x tem concavidade voltada para cima.

Já a função g x um uma função cosseno com amplitude variável x 2 e frequência elevada 20 π x .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ 20 π x = 0

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.