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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Considere a função

f x = 3 x 2 - x - 2 2 x 2 + x - 3 ,     s e   x < 1 ln ⁡ x sin ⁡ 1 x - 1 ,       s e   x > 1  

Existe lim x → 1 ⁡ f ( x ) ? Em caso afirmativo, determine o seu valor.

Passo 1

Como a função é dividida em partes a partir de x = 1 , para saber se existe o limite para x → 1 teremos que fazer os limites laterais em 1 e verificar se são iguais.

l i m x → 1 - 3 x 2 - x - 2 2 x 2 + x - 3 = l i m x → 1 - ( x - 1 ) ( 3 x + 2 ) ( x - 1 ) ( 2 x + 3 ) = l i m x → 1 - ( 3 x + 2 ) ( 2 x + 3 ) = 3.1 + 2 2.1 + 3 = 5 5 = 1

Passo 2

Agora

l i m x → 1 + ln ⁡ x sin ⁡ 1 x - 1

Sabemos que

l i m x → 1 + ln ⁡ x = ln ⁡ 1 = 0

E

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x - 1 ≤ 1

Temos uma função tendendo a zero e uma função limitada multiplicando-se. Assim, pelo Teorema do Anulamento esse limite é igual a zero.

l i m x → 1 + ln ⁡ x sin ⁡ 1 x - 1 = 0

Passo 3

Sendo

l i m x → 1 - f x ≠ l i m x → 1 + f ( x )

O

lim x → 1 ⁡ f ( x )

não existe.

Resposta

N ã o   e x i s t e

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