Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 28

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → + ∞ ⁡ x - cos ⁡ x x

Passo 1

Substituindo x teremos

lim x → + ∞ ⁡ x - cos ⁡ x x = ∞ ∞

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos colocar o termo de maior grau em evidencia.

lim x → + ∞ ⁡ x 1 - cos ⁡ x x x =

lim x → + ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ x x =

l i m x → + ∞ 1 - l i m x → + ∞ cos ⁡ x x =

1 - l i m x → + ∞ cos ⁡ x x

Passo 3

l i m x → + ∞ cos ⁡ x x =

l i m x → + ∞ 1 x cos ⁡ x =

Preste atenção agora. Temos a função cosseno, que é limitada, multiplicando a função 1 x . Veja também que

l i m x → + ∞ 1 x = 1 ∞ = 0

Então, pelo Teorema do Anulamento, podemos afirmar que

l i m x → + ∞ 1 x cos ⁡ x = 0

E por fim

1 - l i m x → + ∞ cos ⁡ x x =   1 - 0 = 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x - cos ⁡ x x = 1

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