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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Avalie o limite abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.

lim x → ∞ ⁡ sen ² ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

Substituindo x por no limite encontraremos a indeterminação ∄ ∞ , uma vez que lim x → ∞ ⁡ s e n   x 2 = ∄ , ou seja, não existe. Então precisamos encontrar uma maneira de manipular esse limite para sair da indeterminação. Observe que para qualquer x real temos

0 ≤ sen 2 ⁡ x ≤ 1

Considerando que x 2 + 1 > 0 , podemos fazer a seguinte afirmação

0 ≤ sen 2 ⁡ x x 2 + 1 ≤ 1 x 2 + 1

Passo 2

Agora, sabendo que

lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 = 0

pois

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 = ∞

pelo Teorema do Confronto podemos afirmar que

lim x → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 + 1 = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ sen ² ⁡ x x 2 + 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x>1 10 e x - 21 2 e x &l
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x