Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

Propriedades dos Limites

a ) lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 - sen ⁡ x 2 2 x 3 sen ⁡ 1 x - 5 x 2

Passo 1

Vou dividir o termo todo, em cima e embaixo para manter a igualdade, por x 2 , já que assim em deixo dois termos com grau 0 e os outros dois do seno já encaminhados:

lim x → - ∞ ⁡ 4 - sen ⁡ x 2 x 2 2 x sen ⁡ 1 x - 5

Ainda não visualizou por que eles ficam encaminhados? Vou fazer com calma um de cada vez:

lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ x 2 x 2

Digamos que, para simplificar a conta, eu chame x 2 de u , o que faria que, como x → - ∞ , o u → + ∞ :

lim u → + ∞ ⁡ sen ⁡ u u

Esse cara aí sai pelo Teorema do confronto. A gente vai concluir que vai para zero!

lim u → + ∞ ⁡ sen ⁡ u u = 0

Agora o outro. Vou escrever colocando apenas um detalhezinho diferente:

lim x → - ∞ ⁡ x sen ⁡ 1 x = lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 x

Repara que esse, assim como o outro, acaba ficando com o mesmo termo dentro do seno e fora dividindo o seno. Chamo t = 1 x , o que faria com que, se x → - ∞ , t → 0 :

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t

Limite fundamental! Isso vai dar 1 :

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t = 1

Agora vamos voltar para o limite do início e substituir esses valores:

lim x → - ∞ ⁡ 4 - sen ⁡ x 2 x 2 2 x sen ⁡ 1 x - 5

= 4 - 0 2 1 - 5 = 4 - 3

= - 4 3

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Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 - sen ⁡ x 2 2 x 3 sen ⁡ 1 x - 5 x 2 = - 4 3

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