Suponha que, para todo x ∈ R , g ( x ) ≤ x 4 . Use o Teorema do Confronto para calcular

lim x → 0 ⁡ g x x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu nos deu uma função em módulo, g ( x ) , que ele disse que é sempre menor ou igual a x 4 e pediu pra gente calcular o limite de lim x → 0 ⁡ g x x usando o Teorema do Confronto? Mas o quê que diz esse teorema?

O Teorema do Confronto nos que se uma função g ( x ) tá espremida em um ponto a entre outras duas funções, f ( x ) e h ( x ) por exemplo, tipo assim:

E essas duas funções tiverem o mesmo limite L em a , então g ( x ) vai ser forçado a ter o mesmo limite L em a . Matematicamente seria o seguinte: se f x ≤ g x ≤ h ( x ) quando x está próximo de a e lim x → a ⁡ f ( x ) = l i m x → a   h x = L , então

l i m x → a   g x = L

Beleza, e como esse Teorema me ajuda? Ele vai nos ajudar porque nós temos uma função que também é limitada, g ( x ) ≤ x 4 , e essa função aparece no limite dividida por x . Então, nós vamos manipular essa nossa expressão pra chegar em algo parecido com g x x , limita-la entre duas funções e assim calcular o limite lim x → 0 ⁡ g x x .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dividindo a nossa expressão g ( x ) ≤ x 4 por x nos dois lados:

g x x ≤ x 4 x

Simplificando do lado direito:

g x x ≤ x 3

Vamos agora colocar o módulo também em x e x 3 , porque essas expressões podem assumir valores negativos:

g x x ≤ x 3

g x x ≤ x 3

Como já temos a nossa função g x x , que queremos descobrir o limite, e ela está limitada, agora podemos usar o Teorema do Confronto. Podemos chamar f x = 0 e h x = x 3 , então nossa função vai estar entre elas, como no passo 1 . De modo que podemos escrever:

0 ≤ g x x ≤ x 3

→     f x ≤ g x ≤ h ( x )

Vamos agora testar a condição dos limites serem iguais, ou seja, se:

lim x → 0 ⁡ 0 = lim x → 0 ⁡ x 3

Passo 3

Vamos calcular o primeiro limite, que é bem simples, basta aplicar o valor:

lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Agora resolvendo o segundo:

lim x → 0 ⁡ x 3 = lim x → 0 ⁡ 0 3 = 0

Assim, percebemos que:

lim x → 0 ⁡ 0 = lim x → 0 ⁡ x 3 = 0

Então, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ g x x = 0

E como o limite lim x → 0 ⁡ g x x é igual a zero, lim x → 0 ⁡ g x x também é igual a zero.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ g x x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.