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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Considere uma função y = f x satisfazendo

f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 ≤ 1 x 2

Para todo x ≠ 0 . Calcule, para essa função,

lim x → - ∞ ⁡ f x   e   lim x → + ∞ ⁡ f x

Passo 1

Essa relação que foi dada pode ser escrita como

- 1 x 2 ≤ f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 ≤ 1 x 2

Vamos começar encontrando

lim x → + ∞ ⁡ f x

Como

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Teremos, pelo teorema do sanduíche,

lim x → + ∞ ⁡ f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 = 0

Passo 2

Pelas propriedades de limite

lim x → + ∞ ⁡ f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 = lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 = 0

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16

Como estamos fazendo x → + ∞

x = x

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 5 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → + ∞ ⁡ 12 x 2 + 2 x 2 + 16

Passo 3

Vamos agora calcular

lim x → + ∞ ⁡ 12 x 2 + 2 x 2 + 16

Como, neste caso, o x está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar de uma técnica que consiste de colocar a maior potência de x em evidência, tanto no denominador quanto no numerador:

lim x → + ∞ ⁡ 12 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 12 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2

lim x → + ∞ ⁡ x 2 12 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 12 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2

Pelas propriedades de limite

lim x → + ∞ ⁡ 12 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2 = 12 + lim x → + ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → + ∞ ⁡ 16 / x 2

12 + lim x → + ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → + ∞ ⁡ 16 / x 2 = 12 + 0 1 + 0 = 12

Passo 4

Vamos agora calcular

lim x → - ∞ ⁡ f x

Como

lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

As contas vão ser iguais a do limite que calculamos ali em cima, só tendo uma pequena diferença, como estamos fazendo x → - ∞

x = - x

Vamos ter então

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 7 x 2 - 5 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 + 16

Passo 5

Vamos agora calcular

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 + 16

Como, neste caso, o x está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar de uma técnica que consiste de colocar a maior potência de x em evidência, tanto no denominador quanto no numerador:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 2 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2

Pelas propriedades de limite

lim x → - ∞ ⁡ 2 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2 = 2 + lim x → - ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → - ∞ ⁡ 16 / x 2

2 + lim x → - ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → - ∞ ⁡ 16 / x 2 = 2 + 0 1 + 0 = 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ f x = 2

lim x → + ∞ ⁡ f x = 12

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