Mostre que o conjunto

A = x 2 + 1 x ; 1 2 ≤ x ≤ 2

admite um maior e um menor elemento. Você consegue calcular estes valores?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se existem máximos e mínimos dentro do conjunto e verificar se a gente consegue calculá-los.

O teorema de Weierstrass (ou teorema dos Valores Extremos) nos diz que se f é uma função contínua definida em um conjunto fechado e limitado D , então f tem valores extremos absolutos em D .

Então, vamos avaliar o conjunto com base no teorema de Weierstrass. Vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa é verificar se a nossa função f x = x 2 + 1 x é contínua no intervalo 1 2 ,   2 . Vamos olhar o gráfico da função:

Repare que no intervalo 1 2 ,   2 , nossa função é contínua. E a função também está em um conjunto fechado, que é nosso intervalo, então ela atende a todos os requisitos do teorema de Weierstrass.

Sendo assim, podemos afirmar que existem valores x 1 e x 2 em 1 2 ,   2 , tais que f ( x 1 ) é o valor mínimo de f no intervalo, e f ( x 2 ) o valor máximo de f nesse mesmo intervalo. Assim,

f x 2 = m á x x 2 + 1 x 1 2 ≤ x ≤ 2

f x 1 = m í n x 2 + 1 x 1 2 ≤ x ≤ 2

Nós podemos encontrar x 1 e x 2 , derivando a função f ( x ) e igualando o resultado a zero.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.