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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Use as propriedades de limite para calcular

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1

Passo 1

Substituindo o limite dá problema:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1 = ∞ ∞

Com o detalhe de termos senos de infinito, um indício de Teorema do Confronto!

Passo 2

Vou começar da seguinte forma: coloco em evidência em cima e embaixo um x 2 , que é o maior grau de polinômio que eu vejo ali. Arranco ele daí, acompanha aqui:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 + sen ⁡ x x x 2 2 - 5 sen ⁡ x x + 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 3 + sen ⁡ x x 2 - 5 sen ⁡ x x + 1 x 2

Tranquilo até aí, né?

Passo 3

Repara no seguinte, indo para o infinito nós já temos um termo que desaparece. É o 1 / x 2 , certo? Beleza, qual é a única coisa com a qual eu devo me preocupar agora? Esse negócio estranho aí de seno sobre x :

sen ⁡ x x

Você pode não ter reparado ainda, mas esse é o caso mais clássico de Teorema do Confronto! Aliás, na nossa Teoria tem uma explicação detalhada justamente desse limite, e você verá que ele vai para zero, já que temos um x crescendo muito e um seno limitado entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ( - 1 ) ≤ lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 x ( 1 )

Como:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ( - 1 ) = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ( 1 ) = 0

Teremos também que:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x = 0

Dessa forma, todos os termos com formato de função ali vão desaparecer, já que só temos dois desse limite, duas constantes e um termo com x no denominador, que vai zerar quando x → ∞ . Se eu olhar para o que sobra vou matar o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 3 + sen ⁡ x x 2 - 5 sen ⁡ x x + 1 x 2 = 3 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1 = 3 2

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