Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha q u e lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0 e que existam M   >   0   e   r   >   0 satisfazendo | g ( x ) |   ⩽   M   p a r a   0   <   | x   -   x 0 |   <   r . Então lim x → x 0 ⁡ f x g ( x ) = 0 . [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]

Passo 1

Oieee, bora resolver essa comigo?

Vou demonstrar o Corolário do Teorema do Confronto usando o Teorema do Confronto, como sugerido.

Primeiro, vou enunciar o Corolário:

Corolário do Teorema do Confronto:

Suponha que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0 e que existam M   >   0   e   r   >   0 satisfazendo | g ( x ) |   ⩽   M   p a r a   0   <   | x   -   x 0 |   <   r .

Então, lim x → x 0 ⁡ f x ⋅ g x = 0 .

Demonstração:

Dado que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0 , temos lim x → x 0 ⁡ 0 = 0 ,que é trivialmente verdadeiro.

Passo 2

Agora, como | g ( x ) |   ⩽   M   p a r a   0   <   | x   -   x 0 |   <   r , podemos aplicar o Teorema do Confronto.

O Teorema do Confronto diz que se existe uma função h ( x ) tal que f x ≤   h x ≤   g ( x )     p a r a     0   <   | x   -   x 0 |   <   r , onde lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = L , então lim x → x 0 ⁡ h ( x ) = L .

Vamos aplicar o Teorema do Confronto com f x e   0 ≤ g x ≤ M :

f x ≤   g x ≤   M  

Dado que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0   e   lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = M   (pois M   é constante), podemos concluir que:

lim x → x 0 ⁡ g x = 0

E como f x ≤   g x ≤   M     p a r a     0   <   | x   -   x 0 |   <   r , podemos usar o Teorema do Confronto para concluir que:

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → x 0 ⁡ g x ≤   lim x → x 0 ⁡ M

Passo 3

Ou seja:

  0 ≤   0 ≤   M  

Como isso é verdadeiro, podemos afirmar que:

lim x → x 0 ⁡ g x = 0

Agora, considerando a função   h x =   f x ⋅   g ( x )   , temos:

f x ⋅   g x =   f x ⋅   | g ( x ) |

Como | f ( x ) |     e   | g ( x ) |   são ambos não-negativos e | g ( x ) | é limitada por   M , podemos escrever:

f x ⋅   g x ≤ �� M ⋅   | f ( x ) |  

Passo 4

Agora, usando o Teorema do Confronto novamente, aplicamos f x ⋅ g x ≤ M ⋅ | f ( x ) | para concluir:

lim x → x 0 ⁡ f x ⋅ g x = 0

Portanto, o Corolário do Teorema do Confronto está demonstrado.

O uso do Teorema do Confronto permitiu estabelecer a relação entre as funções f ( x )   e   | g ( x ) | e, assim, concluir o limite lim x → x 0 ⁡ f x ⋅ g x = 0

Resposta

Vide o passo a passo.

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